22.3.3 抛物线型的实际问题课件 2022-2023学年人教版九年级数学上册

22.3.3 抛物线型的实际问题 1．能建立合适的直角坐标系，用二次函数的知识解决与抛物线相关的实际问题． 2．进一步巩固二次函数的性质与图象特征． 学 习 目 标 生活中我们可以看到很多抛物线形的物体或运动轨迹，比如拱桥、喷泉等，还有其他的例子吗？ 新 课 导 入 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？ 分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数． 为解题简便，以拋物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系（如图）． 合 作 探 究 解：设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2． 由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a×22，a＝－． 这条抛物线表示的二次函数为y＝－x2． 当水面下降1 m时，水面的纵坐标为－3． 当y＝－3时，－x2＝－3，解得x1＝，x2＝－， 所以当水面下降1 m时，水面宽度为2 m． 水面下降1 m，水面宽度增加(－4) m． 合 作 探 究 还有其他建坐标系的方式吗？ x y O x y O x y O 注意：同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式，通常应使已知点在坐标轴上． 合 作 探 究 解决形状为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步骤： （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标； （3）恰当选用二次函数的解析式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式； （4）利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解． 合 作 探 究 例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12 m，宽是4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝－ x2＋2x＋c表示． （1）请写出该抛物线的函数关系式； 解：根据题意得C(0，4)， 把C(0，4)代入y＝－ x2＋2x＋c得c＝4， 所以抛物线解析式为y＝－ x2 ＋2x＋4． 典 例 精 析 （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ ∴这辆货车能安全通过． ∴对称轴为x＝6， 由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)， 当x＝2或x＝10时，y＝ ＞6， 解：抛物线解析式为y＝－ x2＋2x＋4＝－ (x－6)2＋10， 典 例 精 析 例2 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15 m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45 m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60 m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）． 典 例 精 析 ∵与x轴交于点A(60，0)， 解：设抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k， 根据题意得：抛物线的顶点坐标为(15，45)， ∴y＝a(x－15)2＋45． ∴0＝a(60－15)2＋45， ∴这名运动员起跳时的竖直高度为40米． 解得：a＝－ ． ∴解析式为y＝－ (x－15)2＋45， 令x＝0得：y＝－ (0－15)2＋45＝40， ∴点B的坐标为(0，40)， 典 例 精 析 例3 如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米． （1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式； 设y＝a(x－8)2＋8， x y 解：如图，以O为原点建立平面直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标为(8，8)． 将点(0，0)代入上式，得0＝64a＋8， 解得 故函数的解析式为 (0≤x≤16)． 典 例 精 析 （2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明． 即允许的最大高度为6米， 解：由题意得车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧与边沿处的距离x＝7.5－3.5＝4． 当x＝4时，y＝6， 而5.8＜6，故该车辆能通行．但是车顶与隧道间距很小，需小心行驶． 8 16 4 7.5 x y 典 例 精 析 1．某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图所示），大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（　　） A．9.2 m 　　　B．9.1 m C．9 m 　　　　 D．5