22.3.2 最大利润问题课件 2022-2023学年 人教版九年级数学上册

22.3.2 最大利润问题 1．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题． 2．能弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围． 学 习 目 标 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题．商品买卖过程中，作为商家，利润最大化是永恒的追求． 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 新 课 导 入 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 合 作 探 究 你知道这些数量关系吗？ （1）销售额＝售价×销售量； （2）利润＝销售额－总成本＝单件利润×销售量； （3）单件利润＝售价－进价． 合 作 探 究 调整价格包括涨价和降价两种情况．让我们一起来分析一下吧！ （1）涨价销售 ①设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，填空： 建立函数关系式：y＝(20＋x)(300－10x)， 即：y＝－10x2＋100x＋6 000． 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 (20＋x) (300－10x) (20＋x)(300－10x) 6 000 合 作 探 究 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以， 故300－10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30． ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y＝－10x2＋100x＋6 000， 所以当 时，y＝－10×52＋100×5＋6 000＝6 250． 即涨价5元时，最大利润是6 250元． 合 作 探 究 建立函数关系式：y＝(20－x)(300＋20x)， 即：y＝－20x2＋100x＋6 000． （2）降价销售 ①设每件降价x元，每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 20 300 (20－x) (300＋20x) (20－x)(300＋20x) 6 000 合 作 探 究 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20－x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤20． ③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ 即降价2.5元时，最大利润是6 125元． 综上可知，定价57.5元时，最大利润是6 125元． y＝－20x2＋100x＋6 000， ②自变量x的取值范围如何确定？ 当 时， 合 作 探 究 由（1）（2）的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗？ 合 作 探 究 求解最大利润问题的一般步骤 1．建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝单件利润×销售量”； 2．结合实际意义，确定自变量的取值范围； 3．在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出． 合 作 探 究 例 王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式． (70，75) (80，70) 解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)， 根据题意得解得 故y与x之间的函数关系式是y＝－0.5x＋110． 典 例 精 析 （2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需要支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？ 解：设合作社每天获得的利润为w元， 由（1）可知游客居住房间数为y＝－0.5x＋110， 则w＝x(－0.5x＋110)－20(－0.5x＋110)＝－0.5x2＋120x－2 200 ＝－0.5(x－120)2＋5 000． 因为60≤x≤150，所以当x＝120时，w取得最大值，此时w＝5 000， 故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5 000元． 典 例 精 析 1．某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30)出售，可卖出(600－20x)件，为使利润最大，则每件售价应定为________元． 25 随 堂 练 习 14 2．进价为80元/件的某衬衣定价为100元/件时，每月可卖出2 000件；售价每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出该衬衣的总