22.3.1 几何图形面积问题课件 2022-2023学年 人教版九年级数学上册

22.3.1 几何图形面积问题 1．分析实际问题中变量之间的二次函数关系． 2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值． 3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题． 学 习 目 标 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值． （1）y＝x2－4x－5；　　　　　（2）y＝－x2－3x＋4． 解：（1）开口方向：向上；对称轴：x＝2； 顶点坐标：(2，－9)；最小值：－9． （2）开口方向：向下；对称轴：x＝ ； 顶点坐标：( ， )；最大值： ． 复 习 导 入 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 分析： ①由a＝－5可得，图象的开口向下； ②结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图； ③根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度． 合 作 探 究 4 解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度． 即小球运动的时间是3 s时，小球最高，且最大高度是45 m． 合 作 探 究 一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点有最低（高）点，也就是说，当x＝ 时，二次函数有最小（大）值 ． 合 作 探 究 用总长为60 m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？ l S (30－l) l(30－l) 0＜l＜30 何时取最大值呢？ 分析：①已知矩形场地的周长是60 m，一边长是l m，则另一边长是 m，场地面积S＝ m2． ②由一边长l及另一边长30－l都是正数， 可列不等式组： ． 解不等式组得l的范围是 ． 合 作 探 究 分析：③根据解析式，可以确定这个函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，与横轴的交点坐标是 ，与纵轴的交点坐标是 ． 向下 直线l＝15 (15，225) (0，0)，(30，0) (0，0) l S 用总长为60 m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？ 合 作 探 究 ④根据l的取值范围及③，画出该函数图象的草图． 50 100 S 150 200 250 O －50 50 l 由图象知： 点 是图象的最高点，即当l＝ 时，S有最 （选填“大”或“小”）值． (15，225) 15 大 用总长为60 m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？ 合 作 探 究 可列方程 S＝l(30－l)， 即S＝－l2＋30l (0＜l＜30)． 即当l是15 m时，场地的面积S最大为225 m2． l S 解：矩形场地的周长是60 m，一边长为l m， 所以另一边长为 m. 用总长为60 m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？ 合 作 探 究 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1．根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 2．确定自变量的取值范围； 3．根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4．根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值． 合 作 探 究 例 如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，这个矩形的长、宽分别为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：根据题意，设矩形菜园平行于墙的一边长为l m，菜园的面积为S m2， 得(0＜l≤18)，即S＝(0＜l≤18)． 二次函数S＝的对称轴为， 当l＜30时，S随l的增大而增大， 因为0＜l≤18，所以l＝18时，S取得最大值378， 即当矩形的长为21 m，宽是18 m 时，菜园的面积最大，最大面积为378 m2． 典 例 精 析 注意：实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围进行分析．通过结合实际问题，判断何时在顶点处取最值、何时在端点处取最值．