第07讲 全等三角形的常见七大基本模型-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（浙教版）

第07讲 全等三角形的常见七大基本模型 1．掌握全等三角形常见的七大模型，学会其辅助线的添加与技巧； 2．学会运用七大基本模型去证明全等关系； 模型一：平移模型 把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 【常见模型】 模型二：轴对称模型 将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 【常见模型】 模型三：旋转模型 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 【常见模型】 模型四：一线三等角模型 基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE． 【常见模型】 模型五：三垂直全等模型 模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直． 【常见模型】 模型六： 手拉手模型 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等． 【模型图示】 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得． 【常见模型】 （等腰） （等边） （等腰直角） 模型七： 半角全等模型 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型． 【常见模型】 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论． 考点一：平移模型 例1．已知，图中的面积为24，将沿的方向平移到的位置，使和C重合，连接，交于D，则的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式训练】 1．如图，中，，将沿BC方向平移得到，其中A，B，C的对应点分别是点D，E，F，DE与AC交于点G．若点E是BC的中点，则下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C．AC与DE互相垂直平分 D． 2．如图，点，，，在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于点，于点，且．则当点，不重合时，与的关系是______． 3．如图，△ABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上，且点C为AE的中点，AB =CD，BC = DE． (1)求证：△ABC≌△CDE； (2)将△ABC沿射线AC方向平移得到△ ，边与边CD的交点为F ，连接EF，若EF将CDE分为面积相等的两部分，且AB = 4，则 CF = 考点二：轴对称模型 例2．如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式训练】 1．如图所示，△ABC中，AB+BC=10，A、C关于直线DE对称，则△BCD的周长是（ ） A．6 B．8 C．10 D．无法确定 2．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC=150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD=90°；②∠BOE=60°；③OA平分∠BOC．其中正确的结论个数为_______． 3．如图，． (1)作出与关于直线对称的，其中点D是点B的对称点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，延长交于点E，在上截取线段，使得．求证：D，C，F三点共线． 考点三：旋转模型 例3．如图，将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 2．如图，，，将绕D逆时针旋转90°至，连接AE，若，则的面积是 _______． 3． 复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如下图①，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP，则BQ＝CP．” （1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP．请你帮小亮完成证明