专题02 一次函数综合题存在性问题-【暑期培优】2023年暑假八升九（新九年级）数学培优计划（人教版）

2023年八升九数学暑假培优计划 专题02 一次函数综合题存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C在x轴上，点A在y轴上，在四边形中，，点B的坐标为，．    (1)求点C的坐标； (2)动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，过点P作轴，垂足为H，直线交直线于点Q，设的长度为，点P的运动时间为t秒，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在坐标平面内，是否存在一点M，使得以A，B，C，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当点P在线段AB上时，；当点P在的延长线上时， (3)存在．点M的坐标分别为，， 【分析】（1）过点B作轴于点N，然后根据所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理即可得出答案； （2）分两种情况进行讨论：当点P在线段上时；点P在的延长线上时；分别进行计算即可； （3）根据平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】（1）如图，过点B作轴于点N．    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点P在线段上时，，， ∴， 当点P在的延长线上时，，， ∴； （3）如图所示：    当点位于点图示、位置时， 由平行四边形的性质可知， ∴点，， 当点位于点图示位置时， ∴， ∴点， 综上所述：点M的坐标分别为，，． 【点睛】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，灵活运用所学知识点解题是本题的关键． 2．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点，．点F是线段上的一个动点（不与A，B重合），连接，设点F的横坐标为x．    (1)求一次函数的解折式； (2)求的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点P，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为 (2)的面积S与x之间的函数关系式为 (3)①．理由见解析；②存在，点P的坐标为或 【分析】（1）将点A，B的坐标代入一次函数解析式求出k，b的值即可； （2）写出F点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式； （3）①根据三角形面积列方程求点F的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解； ②根据全等三角形的判定和性质求解． 【详解】（1）解：将点，代入一次函数得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）∵点F是线段上的一个动点（不与A，B重合）， 设点F的横坐标为x，过点F作轴，    ∴F点坐标为， ∴的面积：， ∴的面积S与x之间的函数关系式为； （3）解：①．理由如下： 当的面积时， ， 解得：， ∴F点坐标为， ∴， ∵， ∴； ②存在，点P的坐标为或． 过点F作轴交x轴于点E，过点作于点，过点作于点，分两种情况： 情况一：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点； 情况二：∵是等腰直角三角形， 同理， ∴，， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数解析式的确定和一次函数的应用，勾股定理，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识．掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键． 3．直线l：分别与x轴，y轴交于A，B两点，在OB上取一点，以线段为边向右做正方形，正方形沿的方向以每秒1个单位长度的速度向右做匀速运动，设运动时间为t秒．    (1)求A，B两点的坐标； (2)在正方形向右运动的过程中，若正方形的顶点落在直线l上，求t的值； (3)设正方形两条对角线交于点P，在正方形向右运动的过程中，是否存在实数t，使得有最小值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)秒和秒 (3)存在， 【分析】（1）利用直线与坐标轴交点性质即可求解； （2）确定出正方形右移只有，两点会落在直线上，直线与交于点，求出，距离，又已知速度是1，即可求出时间； （3）定点，到动点距离和的最小值问题，找出“河岸“的中垂线，然后作出关于的中垂线的对称点，连接，与交于点，即存在，只需要求出移动距离就可以求出时间． 【详解】（1）解：直线分别与轴，轴交于，两点， 当时，， 当时，， ，； （2）正方形只有点，，在直线左侧， 设直线与直线相交于点， 点， 点， ， ， ， ①， 点右移到上时， （秒）， ②， 点右移上时， （秒）， 答：在正方形向右运动的过程中，若正方形的顶点落在直线上，所求的值为秒和秒． （3）存在实数，使得有最小值，    理由如下： 由正方形对称性可得， 点的横坐标与的中点的横坐