专题01 动态几何与一次函数-【暑期培优】2023年暑假八升九（新九年级）数学培优计划（人教版）

2023年暑假八升九数学暑假培优计划 专题01 一次函数与动态几何 1．如图，在菱形中，对角线交于点O，，动点P从点A出发，沿着折线A→O→B运动，速度为每秒1个单位长度，到达B点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y．    (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当时t的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由四边形是菱形，得到，，分别求出和时的函数解析式即可； （2）根据画出的y与t的函数图象，写出它的一条性质即可； （3）求出当时，，根据图象即可得当时t的取值范围． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴，， 当时，， 当时，， ∴； （2）画图如下：    性质：当时，y随t的增大而增大（或函数在自变量的取值范围内，有最大值．当t=5时，最大值为6）； （3）当时，，解得， 根据图象可得当时，t的取值范围是． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、函数解析式、菱形的性质等知识，正确列出函数解析式是解题的关键． 2．如图，在中，，，点O是的中点，动点P从点A出发，沿折线运动，到达点C停止运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，请解答下列问题：    (1)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出y与x的函数图像，并写出它的一条性质：___________________________________； (3)若直线与该函数图像有且只有2个交点，则k的取值范围为______． 【答案】(1) (2)当时，y随x的增大而增大 (3) 【分析】（1）分点P在上和上，计算即可． （2）画出图像，根据函数的性质，选择一个函数的性质描述即可． （3）根据图像，确定符合题意的图像，再确定k值即可． 【详解】（1）如图，当点P在上时， 过点O作于点D， ∵， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，      ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当点P在上时， 过点P作于点E， ∵，， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，． （2）∵， 列表如下： x 0 3 7 0 3 3 0 画图如下：    故当时，y随x的增大而增大， 故答案为：当时，y随x的增大而增大． （3）根据题意，当直线经过点时，与图像有一个交点，当直线经过点时，与图像有二个交点，    ∴， 解得 根据一次函数的性质，得当时，直线与该函数图像有且只有2个交点， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，三角函数，一次函数的性质，熟练掌握勾股定理，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，三角函数，一次函数的性质是解题的关键． 3．如图，在矩形中，，动点P，Q同时从B点出发，点P沿着方向运动，点Q沿着方向运动，有一点到达终点，另一点停止运动，已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，若运动时间为x秒，将的长度记为，的面积记为． ​ (1)直接写出与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出的图象并写出的一条性质； (3)若函数与有两个交点，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）当时，点Q在上运动，则当时，点Q在上运动，同理可解；由，即可求解； （2）通过取点、描点、连线、绘制图象即可求解； （3）从图象看，当函数过点和时，两条直线恰好有2个交点，进而求解． 【详解】（1）当时，点Q在上运动， 则 当时，点Q在上运动， 同理可得：， 即， 则； （2）对于， 当时，，当时，，当时，， 对于， 当时，，当时，， 通过对上述点描点、连线、绘制图象如下： 从图象看，当时，随x的增大而减小，当，随x的增大而增大（答案不唯一）； （3）从图象看，当函数过点和时，两条直线恰好有2个交点， 将代入得：，则， 将代入得：，则， ∴k的取值范围为：． 【点睛】本题考查了一次函数综合运用，涉及到矩形性质，一次函数的基本性质，主要考查学生分析问题和解决问题的能力． 4．如图1，在矩形中，，，动点P从点B出发，延折线B－C－D运动，到达点D时停止运动，设点P的运动路程为x，由点A、B、P、D围成的图形的面积为y．请解答下列问题：    (1)请直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象； (2)根据函数图象，写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时x的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 【答案】(1