专题20 幂函数-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题20 幂函数 【知识点梳理】 知识点一：幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二：幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【题型归纳目录】 题型一：幂函数的概念 题型二：幂函数的图象的应用 题型三：幂函数的单调性 题型四：幂函数的奇偶性 题型五：幂值大小的比较 题型六：定点问题 题型七：定义域问题 题型八：值域问题 题型九：解不等式问题 题型十：幂函数综合问题 【典例例题】 题型一：幂函数的概念 例1．（2023·高一课时练习）下列函数为幂函数的是（　  ） A． B． C． D． 例2．（2023·江西吉安·高一永新中学校考期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·江西赣州·高一校考期中）在函数，中，幂函数的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1．（2023·江苏扬州·高一统考期中）已知幂函数的图像经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·高一课时练习）已知幂函数的图象过点，则等于（   ） A． B．0 C． D．1 变式3．（2023·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）已知幂函数在上是减函数，则n的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或 变式4．（2023·黑龙江大庆·高一大庆中学校考期中）函数是幂函数，且在上单调递增，则 （    ） A． B． C．或 D．或 题型二：幂函数的图象的应用 例4．（2023·全国·高一专题练习）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（   ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 例5．（2023·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·高一课时练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 变式5．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（    ） A． B． C． D． 变式6．（2023·湖北十堰·高一统考期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型三：幂函数的单调性 例7．（2023·高一课时练习）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 例8．（2023·重庆·高一校联考期中）下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（    ） A． B． C． D． 例9．（2023·辽宁丹东·高一统考期末）已知幂函数的图象经过点，则在定义域内（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．有最大值 D．有最小值 变式7．（2023·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）下列函数中，在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 变式8．（2023·河南郑州·高一郑州市第七中学校考期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 变式9．（2023·福建·高一厦门一中校考