专题21.2 公式法、因式分解法解一元二次方程和根与系数的关系（八大考点）-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题21.2 公式法、因式分解法解一元二次方程和根与系数的关系 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 一元二次方程的解法——公式法】 1 【考点二 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 4 【考点三 根据一元二次方程根的情况求参数】 6 【考点四 根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】 8 【考点五 一元二次方程的解法——因式分解法】 12 【考点六 换元法解一元二次方程】 15 【考点七 一元二次方程根与系数的关系】 18 【考点八 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 20 【过关检测】 24 【典型例题】 【考点一 一元二次方程的解法——公式法】 【例题1】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-1】（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）解方程：（公式法） 【变式1-2】（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）解方程： 【变式1-3】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-4】（2023春·八年级单元测试）解方程 (1)； (2)． 【考点二 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例题2】（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式2-1】（2023·全国·九年级假期作业）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）方程根的情况是（    ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法判断 【变式2-3】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知关于x的方程，下列说法正确的是（　　） A．当时，方程无实数解 B．当时，方程有两个相等的实数解 C．当时，方程有两个不相等的实数解 D．当时，方程有两个相等的实数解 【考点三 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例题3】（2023·安徽宿州·校考一模）若关于的方程有实数根，则的取值范围为________． 【变式3-1】（2023·安徽蚌埠·校联考二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【变式3-2】（2023·四川攀枝花·统考二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【变式3-3】（2023·安徽蚌埠·校考一模）若关于x的一元二次方程无实数根，则整数k的最小值为___________． 【考点四 根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】 【例题4】（2023·北京昌平·统考二模）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于0，求的取值范围． 【变式4-1】（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根． 【变式4-2】（2023·全国·九年级假期作业）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值． 【变式4-3】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况，并说明理由． (2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 【考点五 一元二次方程的解法——因式分解法】 【例题5】（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 【变式5-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）解方程：． 【变式5-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）解方程： (1) (2) 【变式5-3】（2023春·河北石家庄·八年级石家庄二十三中校考阶段练习）解方程 (1)； (2) 【变式5-4】（2022秋·九年级单元测试）解方程： (1)．(配方法) (2)．(因式分解法) (3)．(公式法) (4)．(因式分解法) 【考点六 换元法解一元二次方程】 【例题6】（2023·全国·九年级假期作业）实数满足方程，则的值等于（   ） A． B． C．或 D．或 【变式6-1】（2023秋·广西河池·九年级统考期末）若实数x，y满足，则