第09讲预备知识九：3.1.1函数的概念(精讲）-【赢在起跑线：初升高数学衔接】2023年初三升高中数学完美升级衔接精讲精练（人教A版2019）

第09讲 预备知识九：3.1.1函数的概念(精讲） 目录 一、知识衔接 1 二、重点题型剖析 3 题型一：函数关系的判断 3 题型二：集合与区间的转化 4 题型三：同一个函数 5 题型四：函数求值问题 6 题型五：求函数的定义域 7 题型六：函数的值域 8 角度1：一次、二次、反比例函数的值域 8 角度2：根式型值域 9 角度3：分式型值域 10 一、知识衔接 知识点一：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点二：函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 知识点三：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 知识点四：区间的概念 1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 二、重点题型剖析 题型一：函数关系的判断 典型例题 例题1．（2023·高一课时练习）设集合 ，那么下面的 4 个图形中，能表示集合到集合的函数图象的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题2．（2023秋·广东汕尾·高一统考期末）托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花.”请根据函数的概念判断：下列对应是集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 同类题型归类练 1．(多选）（2023秋·广东深圳·高一统考期末）下列是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）下面选项中，变量是变量的函数的是（ ） A．表示某一天中的时刻，表示对应的某地区的气温 B．表示年份，表示对应的某地区的GDP (国内生产总值) C．表示某地区的学生某次数学考试成绩，表示该地区学生对应的考试号 D．表示某人的月收入，表示对应的个税 题型二：集合与区间的转化 典型例题 例题1．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2022秋·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）区间等于（    ） A． B． C． D． 例题3．（2022·全国·高一期中）将下列集合用区间表示出来． (1)； (2)； (3)； (4)或． 同类题型归类练 1．（2022秋·广东深圳·高三校考期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·高一课时练习）集合用区间形式表示应为______． 3．（2022·高一课时练习）用区间表示下列集合： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 题型三：同一个函数 典型例题 例题1．（2023春·甘肃武威·高一统考开学考试）下列函数中哪个与函数相等（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）下列各组函数中是同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 同类题型归类练 1．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考开学考试）下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）下列四组函数中，表示相同函数的一组是