专题04 解题技巧专题：特殊平行四边形的折叠、旋转问题（题型专攻）-2023-2024学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题04 特殊平行四边形的折叠、旋转问题 题型导航 题型1菱形的折叠问题 题型2矩形的折叠问题 题型3正方形的折叠问题 题型4特殊平行四边形的旋转问题 题型变式 【题型1】菱形的折叠问题 例题．（2022春·八年级单元测试）如图，四边形是菱形，，点是射线上一动点，把沿直线折叠，其中点D的对应为点，连接，若为等边三角形，则 ________．    【变式1-1】 1．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知，四边形是菱形． (1)如图1，若，是等边三角形，点E，点F分别在边，上，连接，对角线与交于点G．若E是边中点，求证：； (2)如图2，若，是等边三角形，点E，点F分别在边，上，连接，对角线与交于点G．请写出与的数量关系并说明理由； (3)如图3，若，是等边三角形，点E，点F，点G分别在边，，上，且，，请直接写出的长为__________． 【题型2】矩形的折叠问题 例题．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿折叠，点落在点处，将纸片沿折叠，点落在点处，且恰好在线段上．若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】 1．（2023·福建宁德·统考二模）如图，将矩形沿折叠，使顶点B落在上点处；再将矩形展平，沿折叠，使顶点B落在上点G处，连接． 小明发现可以由绕某一点顺时针旋转得到，则________°． 2．（2023·浙江台州·统考二模）如图，在矩形ABCD中，，．将矩形ABCD沿EF折叠，使点与点重合，则EB的长为_________． 【题型3】正方形的折叠问题 例题．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，将正方形纸片折叠，使边均落在对角线上，得折痕，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四边形是正方形，是对角线，可求出的度数，根据折叠可知是角平分线，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵沿折叠后落在上，沿折叠后落在上， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的折叠，掌握正方形的性质，折叠的性质，角平分线的性质是解题的关键． 【变式3-1】 1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为．若，则的度数为_____． 【题型4】特殊平行四边形的旋转问题 例题．（2023·江西九江·校考模拟预测）如图，在菱形中，．若将菱形绕点A逆时针旋转α（）得到四边形，连接，则的度数为_______．    【变式4-1】 1．（2023·山东临沂·统考二模）如图1，在正方形中，点E是边上一动点，且点E不与点B、C重合，把线段绕点D旋转，使点E落在线段延长线上的点F处．    (1)求线段旋转的度数； (2)如图2，连接，过点D作，垂足为H，连接． ①求证：； ②当点E在运动的过程中，请探究点H和线段的位置关系，并说明理由． 专项训练 一．选择题 1．（2023春·八年级单元测试）如图，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，菱形中，，是边上的点，沿折叠，点恰好落在上的点，那么的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，将正方形纸片折叠，使边均落在对角线上，得折痕，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·模拟预测）如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠得到，且点B，F，E三点共线，若，则（    ） A． B．5 C． D． 5．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图．将—个边长为8和的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则折痕的长是（    ）    A． B． C． D． 6．（2023春·浙江·八年级期末）如图，在矩形纸片中，，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在上的点处，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2022春·八年级单元测试）如图，在一张矩形纸片中，，点E，F分别在边上，将纸片沿直线折叠，点C落在边上的点H处，点D落在点G处，有下列四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段长的取值范围是；④当点H与点A重合时， 2，其中，正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 8．（2023·浙江台州·统考二模）如图，在矩形A