重难点04 勾股定理中常用的五种思想方法-2022-2023学年八年级数学下学期期末复习【重点·难点】专练（人教版）

重难点04 勾股定理中常用的五种思想方法 ★思想方法一：方程思想： 在直角三角形中，利用方程思想解题也是很好的解题方法，设一条未知线段长为x，用已知数或含x的代数式表示出其它线段长，在直角三角形中应用勾股定理列出关于x的方程，解这个方程即可求出线段长. ★思想方法二：转化思想： 在运用勾股定理时，直角三角形为前提条件，在非直角三角形中求三角形的边或角或推理论证时，常通过作垂线构造直角三角形，将问题转化到直角三角形中来解决. ★思想方法三：数学结合思想: 勾股定理是三角形是直角三角形（形），得到三角形三边的数量关系（数），勾股定理的逆定理的是由三角形三边的数量关系（数），得到这个三角形是直角三角形（形），二者相互结合，能使抽象的数量关系直观化，从而有效分析和解决问题. ★思想方法四：建模思想： 运用勾股定理解决实际问题的实质是将生活中的实际问题转化为数学问题，然后将已知和未知转化为直角三角形的边，利用勾股定理求出直角三角形的边，最后得出实际问题的解. ★思想方法五：分类讨论思想： 在研究三角形的高时，应分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况考虑，另外在探究直角三角形的边长时也应注意分类. 【题型1 方程思想在勾股定理中的应用】 1．（2022秋•徐汇区期末）一个直角三角形两条直角边的比是3：4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形面积为 　 　． 2．（2022春•天门校级月考）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则该三角形的面积为（　　） A．8 B．10 C．24 D．48 3．（2023春•南岗区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，DE是AC的垂直平分线，则BE长等于 　 ． 4．（2022春•海淀区校级期中）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB． 5．（2022春•南宁期末）已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm． （1）求证：CD⊥AB； （2）求该三角形的腰的长度． 6．（2022秋•运城期末）如图，，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 【题型2 转化思想在勾股定理中的应用】 1．（2023春•香坊区校级期中）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、2、3、4，则最大的正方形E的面积是 　 　． ​ 2．（2022秋•高新区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°． 求四边形ABCD的面积． 3．如图，长方体的底面长和宽分别为4cm和2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为　 　cm． 4．（2022秋•渠县校级期末）如图所示，一个无盖的圆柱体盒子的高为8cm，底面圆的周长为24cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱体盒子外表面点A处的蚂蚁想爬到盒子内表面对侧中点B处吃东西，则蚂蚁需要爬行的最短路径长为 　 　cm． 5．（2022秋•高新区校级期末）如图，圆柱底面半径为cm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为 　 cm． 【题型3 数形结合思想在勾股定理中的应用】 1．（2022春•平桥区校级期末）如图所示，四边形ABCD，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m． （1）求四边形ABCD的面积； （2）如图2，以A为坐标原点，以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点P在y轴上，若S△PBDS四边形ABCD，求P的坐标． 2．（2022春•长沙县期末）阅读下列一段文字，并结合图中的信息理解平面内两点间的距离公式的推导过程： 在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2），那么M、N两点之间的距离可以用公式MN计算．试根据公式解决下列问题： （1）若点M1（2，4），N1（﹣3，﹣8），则M1，N1两点间的距离为 　 　； （2）若点M2（5，m）与N2（2，0）的距离为6，求m的值； （3）若点M3（1，2），N3（4，﹣2），点O是坐标原