第四讲 高中所需平面几何知识补充（初升高衔接必备）-2023-2024学年高一数学《赢在新起点》同步课堂备课讲义（人教A版2019必修第一册）

第4讲 高中所需平面几何知识补充 知识点总结 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 图4-3 图4-1 图4-2 如图4-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图4-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 重点题型展示 例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 已知 D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点， 求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1. 例2 已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：. 例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O为三角形ABC的重心和内心. 求证 三角形ABC为等边三角形. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8） 图3.2-8 例4 求证：三角形的三条高交于一点.图3.2-9 已知 中，AD与BE交于H点. 求证 . 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 基础题型训练 一、单选题 1．在等腰中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（   ）    A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．点处 2．如图，在中，，为的内心，延长交于点，连接，．若，，则的长为（        ） A． B． C．8 D．6 3．如图，根据尺规作图痕迹，下列说法不正确的是（    ）    A．由弧②可以判断出 B．弧③和弧④所在圆的半径相等 C．的内心和外心都在射线上 D．由弧①可以判断出 4．有一题目：“已知和有相同的外心，，求．”两人的说法如下：甲：的度数是；乙：甲考虑的不全，的度数还应有一个不同的值．下列判断正确的是（    ） A．甲和乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲和乙都错 5．如图，已知锐角三角形的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，则的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 二、填空题 6．如图，G是的重心，延长交于点D，延长交于点E，P、Q分别是和的重心，长为6，则的长为 _____． 7．如图，正方形的边长为6，正方形的边长为，将正方形绕点C旋转，和相交于点K，则的最大值是______．连结，当点C正好是的内心时，的长是______．    8．如图，在中，＝，＝，＝，则的外心和内心之间的距离为________．    9．等边绕其外心旋转，至少要旋转________度才能与原图形重合． 三、解答题 10．已知二次函数的最小值为0，且其图象过点． (1)求的值； (2)已知点． （ⅰ）若直线与抛物线相交于两点，求的最大值； （ⅱ）已知点是抛物线上异于其顶点的任意一点，过作垂直轴于，的中点为．请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明． ①直线一定经过的外心；②直线一定经过的重心；③直线一定经过的内心． 11．如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线经过点B，与y轴负半轴交于点D．      (1)若，且，求a的值； (2)如图2，若点D为的内心，且的内切圆半径为3，直线BD上是否存在点P（不与点D重合），使得与相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，点E是抛物线与直线l的另一个交点，已知，且的面积为9．此时，对于在抛物线上且介于点E与点B之间（含B与E）的动点，总能使不等式及不等式恒成立，求m的取值范围． 12．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆和分别相交于点，，连接并延长，分别交，于，．    (1)求证：； (2)当为中点，时，求的长； (3)若，求证：． 13．如图，一个含有角的直角三角形内接于圆，点是上的点，，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．    (1)在图1中作直角三角形的外心； (2)在图2中作直角三角形的内心． 14．已知中，，点O是的外心，点是的外心，点是的外心，点是的外心，…，则的度数为________． 15．如图，抛物线与轴交于点，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线的顶点，直线与抛物线交于，两点，求证：的外心恒在直线上； (3)在(2)的条件下，设的外心为．通过对“”取特值探究，当直线运动时，发现点恒在一条确定的曲线上运动，请直接写出曲线的解析式为___