第02讲 圆-垂径定理（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第02讲 圆-垂径定理 1.掌握垂径定理及其推论； 2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明. 知识点1 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点2 垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 【题型1 运用垂径定理直接求线段的长度】 【典例1】（2023•南海区校级模拟）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（　　） ​ A．5 B．6 C．8 D．10 【变式1-1】（2023•增城区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5，CD＝8，则OE＝（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-2】（2023•长安区校级三模）如图，AB为⊙O的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，交AB于点E，若，则BE的长为（　　） A． B．6 C． D．8 【变式1-3】（2023•宿州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OE＝CE＝2，则BE的长为（　　） A． B． C．1 D．2 【题型2 垂径定理在格点中的运用】 【典例2】（2023•平遥县二模）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1） 【变式2-1】（2023•襄阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则该弧的圆心的坐标为（　　） A．（1，0） B．（2，0） C．（2.5，0） D．（2.5，1） 【变式2-2】（2022秋•利通区期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作以圆弧，则圆心的坐标是　　． 【题型3 垂径定理与方程的综合应用】 【典例3】（2023•寻乌县一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】（2021•淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（　　） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 【题型4 同心圆与垂井定理综合】 【典例4】（2021秋•梁山县期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点． （1）求证：AC＝BD； （2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长． 【变式4-1】（2022秋•嘉兴期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC＝BD； （2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长． 【变式4-2】（2021秋•浦江县校级月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝10cm，CD＝6cm． （1）求AC的长； （2）若大圆半径为13cm，求小圆的半径． 【题型5 垂径定理的实际应用】 【典例5】（2022秋•赣县区期末）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径． 【变式5-1】（2023•南平模拟）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则这根圆柱形木材的直径是（　　） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 【变式5-2】（2022秋•龙岩期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，且圆O被水面截得的弦AB长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深