10.2 直线与直线间的位置关系（第2课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

10.2直线与直线间的位置关系（第2课时） 10.2.3两条异面直线所成的角 第10章 空间直线与平面 教师 xxx 沪教版（2020） 必修第三册 异面直线所成角 求异面直线所成角的方法 01 03 02 CONTANTS 目 录 异面直线所成的角 01 平行直线 共面直线 异面直线 相交直线 不同在任何一个平面内，没有公共点． 在同一平面内，没有公共点． 在同一平面内，有且只有一个公共点． 直线与直线的位置关系： (1) (2) (3) 异面直线图示： 复习回顾 如图所示的正方体中，直线A'C'与直线AB， 直线A'D' 与直线AB都是异面直线，但是它们的 位置不同，如何描述这种差异呢？ 夹角 我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度． 图中的角θ即为直线a与直线b的夹角． 平面两条直线夹角 类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系．如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′，b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 如果两条异面直线夹角为90°，那我们就说这两条异面直线互相垂直． 直线a与b垂直，记作a⊥b． 当两条直线平行时，我们规定它们所成的角为0°． 空间两条直线所成角θ的取值范围是： ． 0°≤ θ ≤90° 两直线垂直： 异面垂直、相交垂直 求两条异面直线所成的角的一般步骤： 　1．作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），作出（常用平移法)异面直线所成的角(或其补角)； 　2．证：证明(1)中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角；（注：证明线线平行） 　3．求：通过解三角形或其他方法，求出(1)中所构造的角的大小；（注：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求）． 求异面直线所成的角的方法 01 (1)定义：直线a、b为异面直线，过空间任一点O分别作a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线a与b所成的角. ①异面直线所成角的取值范围： ⑤若平移至相交后的角的计算结果为钝角， 则异面直线所成角应取其补角。 异面直线 相交直线 平移 ③求法：平移至相交后构造特殊△或正/余弦定理求角的大小. 通常把点O取在直线a或b上 ②若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直，记作a⊥b。 ④格式：∵__//__,∴∠____是异面直线___与___所成角(或其补角). 异面直线a与b所成的角：平移至相交所成的锐角(或直角) 异面直线所成角 求异面直线所成角——构造特殊三角形 [例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. 求直线A1B与C1C所成的角大小; (2) 求直线A1B与AC 所成的角大小; (3) 求直线A1B与DC1所成的角大小; 法一：直接平移法 [例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (4)若O,P分别是面AD1,面A1C1的中心，求直线PO与CD所成角; 法二：中位线平移法 (5)O是面AD1的中心，求直线B1O与BD所成的角大小; [例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. 求直线A1B与C1C所成的角大小; (2) 求直线A1B与AC 所成的角大小; (3) 求直线A1B与DC1所成的角大小; 法一：直接平移法 [例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (4)若O,P分别是面AD1,面A1C1的中心，求直线PO与CD所成角; 法二：中位线平移法 (5)O是面AD1的中心，求直线B1O与BD所成的角大小; [例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (6)若M分别是AB的中点，求直线CM与DB1所成角的余弦值. 求异面直线所成角——正/余弦定理 法三：补形平移法 [练习1]如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2， AD=1， 求直线A1C1与D1B所成角的余弦值. 法一(直接&中位线平移法) 法二(补形平移法) [例2]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1=O， 求证：AO⊥BD. 证线线垂直的方法 思路1：求△AOB1三边长，由 勾股定理逆定理得∠AOB1=90° 思路2：构造等边△AD1B1，O为D1B1的中点，得∠AOB1=90° 证线线垂直的方法：①勾股定理逆定理