第12讲 解直角三角形-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用）

第12讲 解直角三角形 ( 解直角三角形 ) ( 内容分析 ) 掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系 熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形 难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题． ( 知识精讲 ) 1、 解直角三角形 模块一：解直角三角形的基本类型 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在中，如果，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： ， ， ( 例题解析 ) 【例1】 在中， ，，b = 9，解这个直角三角形． （，，，）． 【例2】 在中，已知，a = 7，b = 9，解这个直角三角形（利用计算器计算）． 【例3】 在直角三角形中，，，a – b =2，a、b、c是、、 所对的边，解这个直角三角形． 【例4】 如图，中，，BC = 3，AC = 4，以B为圆心，4为半径作圆弧交 AC边于点F，交AB于点E，连接CE，求的正切值． 模块二：解直角三角形的运用 ( 例题解析 ) 【例5】 ( A B C D E )在中，，a、b、c分别是、、的对边，解下列直角 三角形： （1），； （2），； 【例6】 如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，EC = 1，cos B =，则这个菱形的面 积是______． 【例7】 ( A B C D )中，，，角平分线，解这个直角三角形． 【例8】 如图，在中，AB = AC，BDAC，D为垂足，且，求的 值． 【例9】 在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且， 求的值． 一、单选题 1. （2022秋·上海徐汇·九年级校考期中）在Rt中，，如果，，那么AC的长是（　　） A． B． C． D． 2. （2022秋·上海青浦·九年级校考期中）中，，、所对的边分别为、，下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3. （2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）在中，，，，那么边的长为（   ） A． B． C． D． 4. （2022秋·上海静安·九年级校考期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则BC的长为（    ） A． B． C． D． 5. （2023·上海徐汇·统考一模）在中，．下列四个选项，正确的是（ ） A． B． C． D． 6. （2023·上海·一模）已知在中，，，那么的长为（   ） A． B． C． D． 7. （2023·上海·一模）在中，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8. （2022·上海·九年级专题练习）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么的值为（） A． B． C． D． 二、填空题 9. （2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）在中，，，______． 10. （2022秋·上海·九年级校考期中）如果在平面直角坐标系中，点的坐标为，射线与轴的正半轴所夹的角为，那么的余弦值等于 _____． 11. （2022秋·上海·九年级校考期中）在中，，若，那么________． 12. （2023·上海长宁·统考二模）如图，将平行四边形沿着对角线翻折，点的对应点为，交于点，如果，，且，那么平行四边形的周长为______ ．（参考数据：） 13. （2023·上海崇明·统考二模）如图，已知在两个直角顶点重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，，，，，将绕着点C顺时针旋转，当点D恰好落在边上时，连接，那么________． 14. （2022秋·上海·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，△ABC中，，垂足H在BC边上，如果，，，那么___（用含和的式子表示）． 15. （2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，中，，，是边上的中线，把绕点D旋转，点A、B、C分别与点对应，与边交于点E，在旋转过程中，若，那么_______． 16. （2022秋·上海长宁·九年级校考期中）我们把三角形一边上的高与这条边的交点叫做高的垂足，一个三角形中两个高的垂足之间的距离叫做“足距”．已知等腰三角形底角的正切值为，“足距”为2，则它的腰长为________． 三、解答题 17. （2023·上海青浦·统考二模）如图5，在中，已知，，．    (1)求边的长； (2)已知点D在边上，且，连接，试说明与相等． 18. （2023·上海徐汇·统考一模）如图，在中，已知．点为边上一点，，求的长． 19. （2023·上海·模拟预测）如图，在四边形中，，，点E是的中点，连接． (1)求线段的长；