专题01 一元二次方程的解法重难点题型专训-2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 一元二次方程的解法重难点题型专训 【题型目录】 题型一 用直接开方法解一元二次方程 题型二 用配方法解一元二次方程 题型三 用公式法解一元二次方程 题型四 用因式分解法解一元二次方程 题型五 用换元法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 配方法的应用 【经典例题一 用直接开方法解一元二次方程】 【解题技巧】 开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如的方程的解法： 当时，; 当时，; 当时，方程无实数根。 【例1】（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）若一元二次方程的两根分别是和，则的值为（    ） A．16 B． C．25 D．或25 【变式训练】 1．（2022春·八年级单元测试）下列哪个是一元二次方程的解（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2023·安徽·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，直线分别与的正半轴、的负半轴相交于两点，已知的面积等于，则的值为______． 3．（2023·上海·八年级假期作业）解关于的方程：． 【经典例题二 用配方法解一元二次方程】 【解题技巧】 配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式； ④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。 【例2】（2023春·八年级课时练习）用配方法解下列方程时，配方正确的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【变式训练】 1．（2023·山西大同·校联考模拟预测）将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·河南驻马店·九年级校考阶段练习）若定义如果存在一个数i，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：方程的两根为___________（根用i表示）． 3．（2022春·广东揭阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法求的最小值， 解： ∵， ∴当时，有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______． (2)用配方法因式分解：． (3)若，求的最小值． (4)已知，则的值为______． 【经典例题三 用公式法解一元二次方程】 【解题技巧】 公式法：一元二次方程的根 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为； 当时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 （因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。） 【例3】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）被称为“几何之父”的古希腊数学家欧几里得，在他的几何原本中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根如图，一张边长为的正方形的纸片，先折出，的中点，，再沿过点的直线折叠使落在线段上，点的对应点为点，折痕为，点在边上，连接，，则长度恰好是方程的一个正根的线段为（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式训练】 1．（2021·浙江·九年级自主招生）已知正数x，y满足方程，求（    ） A． B． C．0 D．1 2．（2022春·八年级单元测试）将方程化成一般形式为，则________，此方程的根是________． 3．（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【经典例题四 用因式分解法解一元二次方程】 【解题技巧】 因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则； ②因式分解法的一般步骤： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程 ①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。 ②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便