重难点07勾股定理之“垂美四边形”模型-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

重难点07勾股定理之“垂美四边形”模型 【知识梳理】 勾股定理是计算的工具，识别环境对同学们来说至关重要如果能够了解模型背后的结论，做题可以节省大量的时间。等腰直角三角形的手拉手全等模型容易出现垂美四边形。 【考点剖析】 一．填空题（共1小题） 1．图中每个小格都是正方形，点A，B，C，D都落在格点上，则图中∠BCD的度数为 　 　． 二．解答题（共5小题） 2．四边形ABCD如图所示，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，AD＝7，CD＝2． （1）求证：AC⊥CD； （2）求四边形ABCD的面积． 3．连接四边形不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线，如图1，四边形ABCD中线段AC、线段BD就是四边形ABCD的对角线．把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系． 猜想结论：（要求用文字语言叙述） 　 　． 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）． （3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE长． 4．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2； （3）解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG，AB⊥AE且AE＝AB，连接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长． 5．【图形定义】 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【性质探究】 如图1，四边形ABCD是垂美四边形，试探究两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 如图2，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，分别以AC和AB为直角边向外作等腰Rt△ACD和等腰Rt△ABE，连接DE，若AC＝4，AB＝5，求DE的长． 6．[定义]有一组对角是直角的四边形是垂美四边形． [理解]如图①，将一对相同的直角三角尺按如图所示的方式拼成四边形ABCD，每个三角尺三个内角的度数都是30°、60°和90°．四边形ABCD是 　 　四边形，∠ABC+∠ADC＝　 　度； [探究]如图②，四边形ABCD是垂美四边形．∠A＝90°．∠B＝80°，E是边AD延长线上一点，求∠C和∠CDE的度数． [应用]如图③，四边形ABCD是垂美四边形，∠A＝90°，BE和DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线，交AD、BC于点E、F．试说明BE∥DF． 【过关检测】 一、填空题 1．（2020·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________． 二、解答题 2．（2021春·全国·八年级期末）概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 （1）性质探究：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出AB2、CD2、AD2、BC2的数量关系：　 　． （2）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的长（可直接利用（1）中性质） 3．（2021秋·河南南阳·八年级统考期末）若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． （1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，，判断四边形ABCD是否为垂美四边形，并说明理由； （2）性质探究：如图2，试在垂美四边形ABCD中探究、、、之间的数量关系； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFD和正方形ABGE，连接BD、CE、DE，CE分别交AB、BD于点M、N，若AB＝2，AC＝，求线段DE的长． 4．（2021春·江西赣州·八年级统考期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探究垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系，写出证明过程（先画出图形） （3）问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求的长． 5．（2021春·江苏连云港·八年级统考期中）若一个四边形的两条对