重难点03勾股定理之“赵爽弦图”模型-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

重难点03勾股定理之“赵爽弦图”模型 【知识梳理】 “赵爽弦图”的面积关系是中考常考的一种题型，一般出现在选择题、填空题中，如果能够记住面积之间的关系，那么做此类题时一定非常高效. 【考点剖析】 一．选择题（共2小题） 1．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．76 B．72 C．68 D．52 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．在如图所示的“赵爽弦图”中，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD，EFGH都是正方形．若AB＝10，EF＝2，则AH的长为（　　） A．6 B． C．6 D．8 二．填空题（共4小题） 3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝107，大正方形的面积为57，则小正方形的边长为 　 　． 4．如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AF＝4，AB＝5．四边形EFGH的面积是 　 　． 5．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为 　 　cm2． 6．图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6cm，BC＝5cm，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”．则①图中小正方形的面积为 　 　；②若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则需要彩带的长度至少是 　 　． 三．解答题（共3小题） 7．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，可以验证勾股定理； （2）如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝　 　． 8．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列两个问题： （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它来验证勾股定理； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度． 9．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，面积为74的正方形．在Rt△ABC中，若直角边BC＝5，将四个直角三角形中边长为5的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”． （1）这个风车至少需要绕着中心旋转 　 　才能和本身重合； （2）求这个风车的外围周长（图乙中的实线）． 【过关检测】 一．选择题（共10小题） 1．（2022春•东城区期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．72 B．52 C．80 D．76 2．（2021秋•邳州市期中）公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的面积为（　　） A．1 B．3 C．4 D．9 3．（2021春•长垣市期末）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则小正方形与大正方形的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：10 4．（2022秋•青秀区校级期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 5．（2022秋•南岸区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记