21.2.3.1 用因式分解法解一元二次方程课件2022-2023学年人教版九年级数学上册

21.2.3.1 用因式分解法解一元二次方程 1．了解因式分解法． 2．掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤，体会“降次”的数学思想方法． 学 习 目 标 ①配方法：把常数项移到方程的右边，得x2－3x＝－2． 两边都加上2，得x2－3x＋2＝－2＋2． 即2＝． 两边开平方，得x－＝±． 即x－＝，或x－＝－． ∴x1＝2，x2＝1． 问题 请用两种不同方法解下面的一元二次方程： 　　　　　　　　　　x2－3x＋2＝0． 复 习 导 入 问题 请用两种不同方法解下面的一元二次方程： 　　　　　　　　　　x2－3x＋2＝0． ②公式法：这里a＝1，b＝－3，c＝2． ∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝2，x2＝1． 还有其他解法吗？ 复 习 导 入 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度（单位：m）为10x－4.9x2． 问题 设物体经过 x s落回地面，请说说你列出的方程． 10x－4.9x2＝0． 合 作 探 究 你能用配方法或公式法解方程10x－4.9x2＝0吗？ 是否还有更简单的方法呢？ 分解因式：左边提公因式，得x(10－4.9x)＝0， 降次：把方程化为两个一次方程，得x＝0或10－4.9x＝0， 求解：解这两个一次方程，得x1＝0，x2＝ ． 合 作 探 究 6 思考 解方程10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？ 解方程10x－4.9x2＝0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 合 作 探 究 理论依据： ab＝0 a＝0或b＝0． 降次 结构特征：等号左边是两个因式的乘积，右边是0． 合 作 探 究 例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 整体思想：公因式x－2 解法一用到了整体思想， 解法二用到了十字相乘法． 解法一：因式分解，得 (x－2)(x＋1)＝0． 于是得x－2＝0，或x＋1＝0， ∴x1＝2，x2＝－1． 解法二：整理，得x2－x－2＝0， 因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0． 于是得x－2＝0，或x＋1＝0， ∴x1＝2，x2＝－1． 典 例 精 析 例2 解方程： 平方差公式 解：移项、合并同类项，得 4x2－1＝0． 因式分解，得 (2x＋1)(2x－1)＝0． 于是得 2x＋1＝0，或2x－1＝0， ∴＝－，＝． 典 例 精 析 用因式分解法解一元二次方程的步骤 注意：不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如x(x－1)＝x，若约去x，则会丢失x＝0这个根． 1．移项：将方程的右边化为0； 2．分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3．转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4．求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解． 典 例 精 析 常见类型 因式分解 方程的解 x2＋bx＝0 x(x＋b)＝0 x1＝0，x2＝－b x2－a2＝0 (x－a)(x＋a)＝0 x1＝－a，x2＝a x2±2ax＋a2＝0 (x±a)2＝0 x1＝x2＝∓a x2＋(a＋b)x＋ab＝0 （a，b为常数） (x＋a)(x＋b)＝0 x1＝－a，x2＝－b 常见的可以用因式分解法求解的方程的类型 典 例 精 析 1．下列方程，最适合用因式分解法解的是（　　） A．(x－1)(x－2)＝3 　 　 　　 B．2(x－1)2＝x2－1 C．x2＋2x－1＝0 　　　　　 D．x2＋4x＝2 B 解析：选项A，整理得x2－3x－1＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项B，原方程可化为2(x－1)2＝(x＋1)(x－1)，移项后方程左边可提取公因式(x－1)，能进行因式分解；选项C，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项D，整理得x2＋4x－2＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合． 随 堂 练 习 2．方程2x2＝3x的解为（　　） A．x＝0　　　　B．x＝　　　　C．x＝－　　　　D．x1＝0，x2＝ 解析：移项，得2x2－3x＝0，左边因式分解，得x(2x－3)＝0， ∴x＝0或2x－3＝0， ∴x1＝0，x2＝． D 随 堂 练 习 3．解下列方程： （1） （2） 解：（1）化为一般式 x2－2x＋1＝0． 因式分解，得 (x－1)(x－1)＝0． ∴x－1＝0， ∴x1＝x2＝1． （2）因式分解，得 (