专题15 等式性质与不等式性质-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题15 等式性质与不等式性质 【知识点梳理】 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，. 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③. 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立. 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据. 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： (1)对称性： (2)传递性： (3)可加性：(c∈R) (4)可乘性：a>b， 运算性质有： (1)可加法则： (2)可乘法则： (3)可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小. ①； ②； ③. 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小. ①； ②； ③. 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 【题型归纳目录】 题型一：用不等式(组)表示不等关系 题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 题型四：利用不等式的性质证明不等式 题型五：利用不等式的性质比较大小 题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【典例例题】 题型一：用不等式(组)表示不等关系 例1．（2023·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 例2．（2023·四川眉山·高一校考阶段练习）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 例3．（2023·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 变式1．（2023·黑龙江双鸭山·高一校考期中）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·安徽蚌埠·高一蚌埠二中校考开学考试）在数轴上点对应的数分别是，点在表示和的两点之间（包括这两点）移动，点在表示和0的两点（包括这两点）之间移动，则以下四个代数式的值，可能比2021大的是（    ） A． B． C． D． 题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小 例4．（2023·高一课时练习）比大小：_____． 例5．（2023·湖南郴州·高一校考阶段练习）已知，，则的大小关系是_______． 例6．（2023·四川成都·高一校考阶段练习）已知，，则与的大小关系为__________． 变式4．（2023·吉林长春·高一校考阶段练习）设、为实数，比较两式的值的大小：_______ （用符号或=填入划线部分）． 变式5．（2023·全国·高一专题练习），则的大小关系为_______． 变式6．（2023·上海宝山·高一校考期中）如果，，那么，，从小到大的顺序是___________ 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 例7．（多选题）（2023·高一单元测试）如果满足，且，那么下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 例8．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例9．（多选题）（2023·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知∈R，则下列结论正确的是（    ） A．