第26讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第26讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： ； (2)商数关系： 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)． 2．诱导公式 一 二 三 四 五 六 2kπ＋ α(k∈Z) sin α cos α tan α 3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下： 即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法． 4、三角形中的三角函数关系式 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC； cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC； tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC； sin＝sin＝cos； cos＝cos＝sin. 1、【2022年浙江】设，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2、【2021年新高考1卷】若，则（       ） A． B． C． D． 1、（2022·山东威海·三模）已知，，则___________. 2、已知，则（ ） A． B．6 C． D． 3、在△ABC中，下列结论不正确的是(　　) A．sin(A＋B)＝sin C B．sin ＝cos  C．tan(A＋B)＝－tan C D．cos(A＋B)＝cos C 4、化简：的值为（ ） A. B. C. D. 5、（2022·湖南益阳·一模）若，则 A． B． C． D． 6、（2022·河北唐山·三模）若，则___________． 因此， 故答案为：4. 考向一　三角函数的诱导公式 例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝． (1)若cos＝，求f(α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f(α)的值． 变式1、已知f(α)＝，则f的值为　　　　． 变式2、 求值：sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin (－1 050°)＝______； 方法总结：1、熟知将角合理转化的流程 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名． (2)用诱导公式，统一角． (3)用因式分解将式子变形，化为最简． 考向二 同角函数关系式的运用 例2、已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.求： (1) sin x－cos x的值； (2) 的值． 变式1、(1)若α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为_ __． (2)已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为__ __． 变式2、（2022鄂尔多斯第一中学月考）化简： (1) cos α＋sin α（α是第二象限角）； (2) sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α. 变式3、已知2cos2α＋3cosαsin α－3sin2α＝1，α∈.求： (1)tan α的值； (2) 的值． 方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．所求式是关于sinα，cosα的齐次式时，分子分母同除以cosα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想． 考向三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例3、已知cos(75°+α)=，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值． 变式1、已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝ . 变式2、 已知tan ＝，则tan ＝　　　　． 变式3、已知sin ＝，则sin （x－）＋sin2的值为　　　　． 方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. 2.注意角的范围对三角函数值符号的影响. 1、（2022·广东广州·一模）若，，则___________. 2、（2022·湖南·长郡中学一模）已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线垂直，则的值为（        ） A． B． C．2 D．3 3、（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知，则______． 4、（202