第25讲 弧度制及任意角的三角函数-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第25讲 弧度制及任意角的三角函数 1. 角的概念的推广 (1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角． (2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限． (3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 2. 弧度制 ①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝ ，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径． ③弧度与角度的换算：360°＝ rad；180°＝ rad；1°＝ rad；1 rad＝ _度． ④弧长公式：__l＝|α|r__． 扇形面积公式：S扇形＝ _＝ ． 3. 任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝__y__，cosα＝__x__，tanα＝． (2)特殊角的三角函数值 角α 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° α弧 度数 sinα cosα tanα 1、若α是第四象限角，则π＋α是第____象限角(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 2、（2022·日照一模）已知角θ的终边经过点 P（，－），则角θ可以为(　　) A. B. C. D. . 3、（多选）下列结论中，正确的是(　　) A. －是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 C. 若角α的终边过点P(－3，4)，则cos α＝－ D. 若角α为锐角，则角2α为钝角 4、（2022·山东高三开学考试）在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点(－2，y)，且tan (π－α)＝2，则sin α＝　　　　． 考向一　角的表示及象限角 例1、　(1) 终边在直线y＝x上的角的集合为　　　　　　　　　　； (2) 若角θ的终边与角的终边相同，则在[0，2π）内，终边与角的终边相同的角的个数为　　　　； (3) 已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角α用集合可表示为　　　　　　　　　　． 变式、（1）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) （2）若角α是第二象限角，则是(　　) A．第一象限角　　　　　　　 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 方法总结：1. 象限角的两种判断方法： (1) 图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2) 转化法：先将已知角转化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 2. 由角所在的区域写出角的集合，由角的集合画出区域． 考向二 扇形的有关运算 例2、 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l. (2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积. 变式1、（1）中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　) A. B. C.3－ D.－2 (2)一个扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则圆心角为________弧度，弧长为________ cm. 变式2、已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1) 求弦AB所对圆心角α的大小； (2) 求α所在的扇形弧长l及弧所在弓形的面积S. 方法总结：有关弧长及扇形面积问题的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 考向三 三角函数的定义及应用 例3、已知角α的终边上一点P(－，m)(