精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2023届高三最后一模考试数学试题（火箭班）

数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是2的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 直三棱柱如图所示，为棱中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个大于1的零点，则的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 为了提高学生的英语基础，某中学要求学生每天坚持一小时的听、说、读、写训练．为了调查该校5000名高中学生每周平均参加英语训练时间的情况，某教师从高一、高二、高三三个年级学生中按照3∶1∶1的比例分层抽样，收集了100名学生平均每周英语训练时间的样本数据（单位：h），整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法中正确的有（ ） A. 估计该校高中学生平均每周英语训练时间不足4h的人数为1500人 B. 估计该校高中学生平均每周英语训练时间不少于8h的人数所占百分比为22% C. 估计该校高中学生平均每周英语训练时间的中位数为5h D. 估计该校高中学生平均每周英语训练时间为5.84h 10. 设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 当时，有最小值2 C. 在区间上单调递减 D. 有两个极值点 11. 已知点A是抛物线上的动点，为坐标原点，为焦点，，且三点顺时针排列，则（ ） A. 当点在轴上时， B. 当点在轴上时，点A的坐标为 C. 当点A与点关于轴对称时， D. 若，则点A与点关于轴对称 12. 如图，四棱锥的底面为梯形，底面，，，为棱的中点，则（ ） A. 与平面所成的角的余弦值为 B. C. 平面 D. 三棱锥的体积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量满足，且，则与的夹角为________． 14. 已知函数，把图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则________． 15. 若函数为定义在上奇函数，则曲线在点处的切线方程为________． 16. 已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点分别为，离心率为，过且斜率为的直线与交于两点，四边形的面积为，则四边形的周长是________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知为正项等差数列，为正项等比数列，其中，且，成等比数列，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 已知锐角的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，角的平分线交于点，，求的面积． 19. 如图，已知直三棱柱为的中点，为侧棱上一点，且，三棱柱的体积为32． （1）过点作，垂足为点，求证：平面； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 20. 据统计，某医院10月份因患心脏病而住院的500名男性病人中，有260人秃顶，而另外500人不是因患心脏病而住院的男性病人中有100人秃顶． （1）填写下列秃顶与患心脏病列联表： 类别 患心脏病 患其他病 总计 秃顶 不秃顶 总计 据表中数据估计秃顶病患中患心脏病的概率和不掉头发病患中患心脏病的概率； （2）能够以99.9%的把握认为秃顶与患心脏病有关吗？请说明理由； （3）从不是因患心脏病而住院的男性病人中按照分层抽样方法抽取10人，再从这10名病患中随机抽取2人做进一步调查，设抽到的秃顶病患人数为X，求随机变量X的分布列和期望． 注：． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，点是右支上一点，的面积为4． （1）求的方程； （2）点A是在第一象限渐近线上的一点，轴，点是右支在第一象限上的一点