4.3 全等三角形 辅助线（倍长中线）专项练习 2022--2023学年北师大版七年级数学下册

北师版数学七下全等三角形辅助线（倍长中线）（解析） 一．01类：倍长中线（共13小题） 1．在△ABC中，AB＝AC，D为射线BC上一点，DB＝DA，E为射线AD上一点，且AE＝CD，连接BE． （1）如图1，若∠ADB＝120°，，求DE的长； （2）如图2，若BE＝2CD，连接CE并延长，交AB于点F，求证：CE＝2EF； 【解答】（1）解：∵DA＝DB，∠ADB＝120°， ∴∠ABC＝∠BAD＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝30°， ∴∠CAD＝90°， ∴AD＝AC×tan30°＝1，AE＝CD＝2AD＝2， ∴DE＝AE﹣AD＝1， （2）证明：如图，过A作AG∥BC交CF的延长线于点G． ∵DB＝DA，AB＝AC， ∴∠BAD＝∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠BAD＝∠ACB， ∵AE＝CD， ∴△ABE≌△CAD， ∴BE＝AD， ∵BE＝2CD， ∴AD＝2CD＝2AE， ∴AE＝DE， ∵AG∥BC， ∴∠G＝∠DCE，∠GAE＝∠CDE， ∴△AGE≌△DCE， ∴GE＝CE，AG＝CD＝AE， ∴△AGE为等腰三角形， ∴∠GAF＝∠ABC＝∠BAD， ∴F为GE的中点， ∴CE＝EG＝2EF． 2．已知△ABC和△BDE都为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DBE＝90°，点D为AC上一点． （1）如图1，DE与BC交于点F，若EF＝EB，求的值； （2）如图2，连接AE，交BC于点M，求证：AD＝2CM； 【解答】（1）解：∵EF＝BE， ∴∠FEB＝∠EBF， ∵∠E＝45°， ∴∠BFE＝∠FBE＝67.5°， ∵∠DBE＝90°， ∴∠CBD＝22.5°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ABD＝22.5°， ∴BD是∠ABC的角平分线， 过点D作DK⊥AB交于点K， ∴CD＝DK， ∵∠A＝45°， ∴AD＝KD， ∴AD＝CD， ∴＝； （2）证明：过点E作EN⊥BC交于点N， ∵∠DBE＝90°， ∴∠DBC+∠CBE＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠CBD+∠CDB＝90°， ∴∠NBE＝∠CDB， ∵BE＝BD， ∴△BCD≌△ENB（AAS）， ∴NB＝CD， ∵BC＝AC， ∴AD＝CN， ∵∠AMC＝∠NME，∠ACM＝∠MNE＝90°，AC＝NE， ∴△ACM≌△ENM（AAS）， ∴CM＝MN， ∴AD＝2CM； 3．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，F为直线AB上一点，连接FC，作BD⊥FC于点D，连接AD，过点A作AE⊥AD交BD于点E． （1）如图1，求证：AD＝AE； （2）如图2，若点H是BD中点，连接AH、CE，求证：CE＝2AH； 【解答】（1）证明：∵BD⊥FC，∠BAC＝90°， ∴∠BDF＝∠CAF＝90°， ∴∠ABE＝∠ACD＝90°﹣∠F， ∵AE⊥AD， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°， 即∠BAE+∠EAG＝∠CAD+∠EAG， ∴∠BAE＝∠CAD， 又∵AB＝AC， ∴△ABE≌△ACD（ASA）， ∴AD＝AE； （2）证明：延长AH至N，使HN＝AH，连接BN，如图2所示： ∵点H是BD中点， ∴BH＝DH， 又∵∠BHN＝∠DHA，HN＝AH， ∴△BHN≌△DHA（SAS）， ∴BN＝AD，∠N＝∠HAD， ∴BN∥AD， ∴∠NBA+∠BAD＝180°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠DAE＝180°， ∴∠BAC+∠DAC+∠EAC＝180°， ∴∠BAD+∠EAC＝180°， ∴∠NBA＝∠EAC， 由（1）得：AD＝AE， ∴BN＝AE， 又∵AB＝AC， ∴△NBA≌△EAC（SAS）， ∴CE＝AN， ∵AN＝AH+HN＝2AH， ∴CE＝2AH； 4．已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为直线BC上一点，连接AD并延长，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E． （1）如图1，若∠BAC＝60°，tan∠EAC＝，AB＝1，求线段AE的长度； （2）如图2，若AC＝EC，点F是线段BA延长线上一点，连接EF与BC交于点H，且∠BAD＝∠ACF，求证：AF＝2BH； 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAC60°，AB＝1， ∴cos60°＝ ∴AC＝2， ∵∠ACE＝90°， ∴tan∠EAC＝， ∴EC＝1， 在Rt△AEC中， AE＝． （2）如图，作EQ⊥B， ∵EQ⊥BC，AC⊥EC， ∴∠EQC＝∠ACE＝90°， ∵∠QEC+∠QCE＝90°，∠QCE+∠QCA＝90°， ∴∠QCE＝∠QCA， ∠ABC＝∠CQE＝90° 在△ABC和△CQE中 ， ∴△ABC≌△CQE（AAS）， ∴AB＝CQ，BC＝EQ． ∵AC＝CE，AC⊥EC， ∴∠CAE＝∠