12.2&12.3 二次根式的乘除和加减-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（苏科版）

12.2&12.3二次根式的乘除和加减 1．会将二次根式化为最简二次根式，能够识别同类二次根式． 2．理解二次根式的乘除法则，会运用法则进行二次根式的乘除运算． 3．理解二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算 一、二次根式的乘法法则 1．一般地，二次根式的乘法法则是： , 即两个二次根式相乘，等于各个被开方数乘积的算术平方根． 2.把反过来，就得到了积的算术平方根的性质： = 积的算术平方根，等于各个因式的算术平方根的积 作用：可以用它来进行二次根式的化简． 注意： ①a、b必须都是非负数。 ②拓展：=(,)。 ③=一定要有的限定条件。 二、二次根式的除法法则 1.一般地，二次根式的除法法则是： 即两个二次根式相除，算术平方根的商等于商的算术平方根． 2.把=反过来就得到； = 商的算术平方根，等于各个因式的算术平方根的商． 三、最简二次根式 最简二次根式的定义： （1）被开方数中不含分母．即根号内无分母，分母内无根号． （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．即开方得开尽． 我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式. 注意： 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 四、同类二次根式 1．如果几个二次根式化成最简二次根式后它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫作同类二次 根式． 注意： （1）前提条件：二次根式是最简二次根式． （2）被开方数相同 五、二次根式的加减法则 1.二次根式的加减 （1）二次根式的加减实质：先化简（化为最简二次根式），后合并（合并同类二次根式）． （2）二次根式的加减步骤： ①一化：将每个二次根式化为最简二次根式． ②二找：找出同类二次根式． ③三合并：合并二次根式． 注意： ① 二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类二次根式不能合并． 如是最简二次根式，不能合并． ② 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式，如，不能写成 的形式． ③ 合并同类二次根式后，若系数为多项式，需添加括号，如（）. 题型一 二次根式的乘除运算 【例题1-1】当时，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【例题1-2】把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 【例题1-3】计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【变式1-1】人们把 叫做黄金分割数．五角星是常见的图案，如图，在五角星中存在黄金分割数，，若，则______．    【变式1-2】一个长方形的长和面积分别是和，则这个长方形的宽为_____． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-4】计算： (1)； (2) (3) 【同步测试1-1】作商比较法的理论依据是，，若，则；若，则；若，则．请用作商法比较与的大小． 【同步测试1-2】计算 (1) (2) 【同步测试1-3】定义：若两个二次根式，满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决： (1)若与是关于6的共轭二次根式，则_______； (2)若与是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值． 题型二 二次根式加减混合运算 【例题2-1】如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A．6 B．6 C． D． 【例题2-2】若最简二次根式与二次根式能合并，则m＝____． 【例题2-3】化简：①________；②________；③________；④________；⑤比较大小：________；⑥________． 【变式2-1】比较大小：___4（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【变式2-2】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是___________． 【变式2-3】若与是同类二次根式，求的最小正整数？ 【变式2-4】合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【同步测试2-1】观察下列各式： ； ； ；…，回答下列问题： (1)利用你观察到的规律求，其中n为正整数； (2)计算：． 【同步测试2-2】计算： (1) (2) 【同步测试2-3】（1）计算：； （2）解方程组： 【同步测试2-4】阅读材料，并解决问题： 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化，解：原式==（）．运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化； (2)比较大小：（在横线上填“”、“”或“”） ①____