第32讲 数列的求和方法（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第32讲 数列的求和方法 1.基本数列求和公式法 (1)等差数列求和公式:Sn==na1+d. (2)等比数列求和公式:Sn= 2.几种数列求和的常用方法 (1)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． (2)分组（并项）求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． (4)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解． 3.常用结论 (1)一些常见的数列的前n项和： ①1＋2＋3＋…＋n＝； ②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)； ③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2. (2)常见的裂项技巧 ①＝－. ②＝. ③＝－. ④＝. 考点一 等差等比公式法 考点二 倒序相加法 考点三 分组（并项）求和法 考点四 裂项相消法 考点四 错位相减法 考点一：等差等比公式法 例1．已知数列，等差数列满足，，． (1)证明：； (2)若为等差数列，求的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设数列的公差为，则有，结合即可求出，再升次作差即可证明. （2）设数列的公差为，由（1）解得，结合求出，再利用等差数列求和公式即可得到答案. 【详解】（1）设数列的公差为，由，得， 由，得，故, 即① 递推,得② ①②得， 故得证. （2）若为等差数列，设公差为， 由,可得，则. 又，，， 的前项和. 考点二：倒序相加法 例2．“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献．我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法、每一个n阶代数方程必有n个复数解等．已知某数列的通项，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】D 【分析】利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】函数， ， 又， 所以． 则，， ∴，所以． 故选：D 考点三：分组（并项）求和法 例3．求值：（    ） A．1013 B．－1012 C．－1013 D．1012 【答案】A 【分析】利用分组求和法求解即可. 【详解】 ． 故选：A 例4．数列的前项和为  （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果. 【详解】由题意知：数列的通项公式为， 前项和. 故选：C. 考点四：裂项相消法 例5．（2023·江西九江·统考二模）已知数列的通项为，则其前8项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用裂项相消法进行求解即可. 【详解】， 所以前8项和为， 故选：D 考点五：错位相减法 例6．已知数列满足，则的前100项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合错位相减法进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以数列是以8为首项，2为公比的等比数列，则，即. 设的前项和为，则 两式相减，得， 所以. 故选：D 一、单选题 1．记为等比数列的前n项和．若，则（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【分析】设公比为，根据等比数列的求和公式，分与两种情况讨论，可求出结果. 【详解】设公比为， 当时，由，，解得，则； 当时，由， ，得，显然，从而得， 即，得， 即，解得或，均不符合题意， 综上，. 故选：B． 2．（2023·安徽滁州·校考一模）小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出每年应还款的数额，分别求出10年还款的现金与利息和以及银行贷款10年后的本利和，列等式后求得每年应还款数． 【详解】设每年应还万元，则有， 得 ， 解得． 故选：B． 3．已知是数列 的前n项和，，，，记 且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得数列为等差数列，又，进而得解. 【详解】由，可知数列为等差数列，公差为， 且， 所以， 所以， 故选：B. 4．已知函数，数列满足，则（    ） A．2022 B．2023 C．4044 D．4046 【答案】A 【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】∵， ∴． ∵， ∴．令， 则，两式相加得， ∴． 故选:A