2.7 抛物线及其方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评作业与测评word（人教B版2019）

2．7　抛物线及其方程 2．7.1　抛物线的标准方程 知识点一　抛物线的定义 1．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 答案　C 解析　方程5＝|3x＋4y－12|可化为＝，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M的轨迹是抛物线．故选C. 2．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　D 解析　解法一：∵y＝4，∴x2＝4y＝16，∴x＝±4，∴A(±4，4)，焦点坐标为(0，1)，∴所求距离为＝＝5. 解法二：∵抛物线的准线方程为y＝－1，∴点A到准线的距离为5，又点A到准线的距离与点A到焦点的距离相等，∴所求距离为5. 3．给出下列命题： ①到定点F(－1，0)的距离和到定直线x＝1的距离相等的动点P的轨迹为抛物线； ②到定点F(2，1)的距离和到定直线3x－2y－4＝0的距离相等的动点P的轨迹为抛物线； ③抛物线的焦点一定在y轴上． 其中假命题是________(填序号)． 答案　②③ 解析　由抛物线的定义，知命题①为真命题；因为定点F(2，1)在定直线3x－2y－4＝0上，可知动点P的轨迹为一条直线，所以命题②为假命题；因为抛物线的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，所以命题③为假命题． 知识点二　抛物线的标准方程 4．抛物线x2＝ay的准线方程是y＝2，则实数a的值为(　　) A．8 B．－8 C. D．－ 答案　B 解析　∵x2＝ay的准线方程为y＝－＝2，∴a＝－8. 5．焦点在坐标轴上的抛物线过点(－2，3)，则抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝－y或y2＝x B．y2＝－x或x2＝y C．x2＝y D．y2＝－x 答案　B 解析　∵点(－2，3)在第二象限，∴设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)或y2＝－2p1x(p1>0)，把(－2，3)代入，得(－2)2＝2p×3，9＝－2p1×(－2)，∴2p＝，－2p1＝－.故所求抛物线的标准方程为x2＝y或y2＝－x. 6．已知点P(－2，4)在抛物线y2＝2px(p＞0)的准线上，则该抛物线的焦点坐标是(　　) A．(0，2) B．(0，4) C．(2，0) D．(4，0) 答案　C 解析　因为点P(－2，4)在抛物线y2＝2px的准线上，所以－＝－2，所以p＝4，则该抛物线的焦点坐标是(2，0)．故选C. 7．根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y＝－1； (2)焦点在x轴的正半轴上，且到准线的距离是3. 解　(1)由准线方程为y＝－1知抛物线的焦点在y轴正半轴上，且＝1，则p＝2. 故抛物线的标准方程为x2＝4y. (2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)， 则焦点坐标为，准线方程为x＝－， 则焦点到准线的距离为p＝3， 因此所求抛物线的标准方程是y2＝6x. 知识点三　与抛物线有关的轨迹问题 8．过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线 答案　D 解析　如图，设点P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线．故选D. 9．若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是(　　) A．x＋4＝0 B．x－4＝0 C．y2＝8x D．y2＝16x 答案　D 解析　依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，经过原点，焦点在x轴正半轴上，所以其方程为y2＝16x.故选D. 10．有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按如图所示方式进行折叠，使每次折叠后点B都落在AD边上，此时将B记为B′(注：图中EF为折痕，点F也可落在边CD上)．过B′作B′T∥CD交EF于点T，求点T的轨迹方程． 解　如图所示，连接BT，以边AB的中点O为原点，AB边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(0，－2)． 由题意可知|BT|＝|B′T|，B′T⊥AD，根据抛物线的定义，点T的轨迹是以B为焦点，AD为准线的抛物线的一部分． 设T(x，y)，又|AB|＝4，∴抛物线方程为x2＝－8y. 在折叠中，线段AB′的长度|AB′|在区间[0，4]内变化， 而x＝|AB′|，∴0≤x≤4. 故点T的轨迹方程为x2＝－8y(0≤x≤4)． 一、选择题 1．抛物线y＝4x2的准线方程是(　　) A．y＝1 B．y＝－1 C．y＝ D．y＝－