1.2 空间向量在立体几何中的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评作业与测评word（人教B版2019）

1．2　空间向量在立体几何中的应用 1．2.1　空间中的点、直线与空间向量 知识点一　空间中的点、直线与空间向量 1．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1) 答案　A 解析　∵＝(2，4，6)＝2(1，2，3)，∴直线l的一个方向向量为(1，2，3)．故选A. 2．l1的一个方向向量为v1＝(1，2，3)，l2的一个方向向量为v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　若l1∥l2，则v1∥v2，所以＝＝，所以λ＝2.故选B. 3．已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　∵C在线段AB上，∴∥，∴设C(x，y，z)，则由＝，得(x－4，y－1，z－3)＝(2－4，－5－1，1－3)，即解得故选C. 4．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝6，E是PB的中点，DF∶FB＝CG∶GP＝1∶2.求证：AE∥FG. 证明　如图所示，建立空间直角坐标系． 则A(6，0，0)，E(3，3，3)，F(2，2，0)，G(0，4，2)，＝(－3，3，3)，＝(－2，2，2)， 所以＝，所以∥， 所以AE∥FG. 知识点二　空间中两条直线所成的角 5．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1与l2所成的角为α，则(　　) A．α＝θ B．α＝π－θ C．cosθ＝|cosα| D．cosα＝|cosθ| 答案　D 解析　由题意知，θ与α相等或互补，且α∈，所以cosα＝|cosθ|.故选D. 6.(2023·新疆伊犁高二校考期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，上底面中心为O，则异面直线AO与DC1所成角的余弦值为________． 答案　 解析　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，O(1，1，2)，C1(0，2，2)，＝(－1，1，2)，＝(0，2，2)，设异面直线AO与DC1所成的角为θ，则cosθ＝＝＝. 7．设a，b分别是不重合的直线l1和l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系． (1)a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)； (2)a＝(5，0，2)，b＝(0，4，0)； (3)a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)． 解　(1)∵a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)， ∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2. (2)∵a＝(5，0，2)，b＝(0，4，0)， ∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (3)∵a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)，∴a与b不共线，也不垂直， ∴l1与l2的位置关系是相交或异面． 知识点三　异面直线与空间向量 8．[多选]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF⊥AC B．EF⊥A1D C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 答案　AB 解析　如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为3，则E(1，0，1)，F(2，1，0)，A1(3，0，3)，A(3，0，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)．∴＝(1，1，－1)，＝(－3，3，0)，＝(－3，0，－3)．∴·＝0，·＝0.∴EF⊥AC，EF⊥A1D，∴A，B正确；又＝(－3，－3，3)＝－3，∴EF∥BD1，∴C，D错误．故选AB. 一、选择题 1．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 答案　D 解析　因为l1∥l2，所以a∥b，所以＝＝⇒x＝6，y＝.故选D. 2．(2023·河南郑州高二校考)已知向量a＝(4，4，5)，b＝(－7，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1⊥l2，则下列几组解中可能正确的是(　　) A．x＝2，y＝4 B．x＝4，y＝3 C．x＝1，y＝3 D．x＝6，y＝2 答案　A 解析　由题意a·b＝－28＋4x＋5y＝0，即4x＋5y＝28，代入各选项中的值计算，只有A满足2×4＋4×5＝28.故选A. 3．已知A(0，1，1)，B(2，－1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB与CD所成角的余弦值为(