专题5.1 平面向量的概念及其线性运算-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

5.1 平面向量的概念及其线性运算 思维导图 知识点总结 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||. (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 规定实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘，记作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)若a≠0，则当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；特别地，当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa. [常用结论] 1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋). 2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1. 3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件. 典型例题分析 考向一 　平面向量的有关概念 例1. 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　) A.a＝－b B.a∥b C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b| 答案　C 解析　因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且＝， 所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D. 当a＝2b时，＝＝， 故a＝2b是＝成立的充分条件. 感悟提升　平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 考向二 向量的线性运算 角度1　平面向量加、减运算的几何意义 例2 (2023·芜湖调研)如图，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则＝(　　) A.－＋ B.－＋ C.－＋ D.－＋ 答案　A 解析　由题图，得＝＋＝＋＝(－)＋ ＝－＋－－＝－＋.故选A. 角度2　向量的线性运算 例3 在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a－b D.a－b 答案　A 解析　如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形， 所以＝＋. 因为＝， 所以＝，＝， 所以＝＋＝a＋b. 角度3　利用向量的线性运算求参数 例4 在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高.若＝λ＋μ，则λ－μ＝________. 答案　 解析　如图. ∵AD为BC边上的高， ∴AD⊥BC. ∵AB＝2，∠ABC＝30°， ∴BD＝＝BC， ∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 又∵＝λ＋μ， ∴λ＝，μ＝，故λ－μ＝. 感悟提升　平面向量线性运算的常见类型及解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义. (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值. 考向三 共线向量定理的应用 例5 (1)(2022·绵阳二诊)已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则(　　) A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 答案　D 解析　对于A，＝＋＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，与不共线，A不正确； 对于B，＝4a＋6b，＝－a＋3b，则与不共线，B不正确； 对于C，＝－a＋3b，＝a＋3b，则与不共线，C不正确； 对于D，＝＋＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3，即∥，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确.故选D. (2)(2023·山西大学附中诊断)如图所示，已知点G是△ABC的重