专题41 空间向量与立体几何-2024年新高考数学一轮考点题型精准复习（讲义+ppt）（新高考专用）

专题41 空间向量与立体几何 考点一 求直线的方向向量及平面的法向量 考点二 利用空间向量证明平行和垂直 考点三 利用空间向量求空间夹角 考点四 利用空间向量求点面（线面、线线）距离 考点五 利用空间向量求点线距离 考点六 已知夹角或距离 一、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个. （2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作,有无数多个，任意两个都是共线向量. 平面法向量的求法：设平面的法向量为， 在平面内找出（或求出）两个不共线的向量， 根据定义建立方程组，得到，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量. 2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. 位置关系 平行 垂直 线线（与） 线面（与） 面面（与） 3.利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则， 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． 如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)． 4.利用空间向量求距离 （1）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则B到平面的距离为. （2）点到直线的距离 设为直线上一点, 为直线的方向向量, 在向量方向上的投影向量的模长为,则点到直线的距离. 考点一 求直线的方向向量及平面的法向量 例1．（2023春·江苏常州·高三校联考期中）已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】由题知：， 因为，所以，解得， 所以. 故选：A 例2．（2023秋·高二课时练习）在如图所示的坐标系中，为正方体，给出下列结论： ①直线的一个方向向量为； ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为； ④平面的一个法向量为.其中正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义判断可得答案. 【详解】设正方体的棱长为，则，，，则与平行，故直线的一个方向向量为，故①正确； 因为，，所以，因为与平行，所以直线的一个方向向量为，故②正确； 因为，，所以，因为是平面的一个法向量，且与平行，所以平面的一个法向量为，故③正确； 因为，，所以， 因为，所以与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故④不正确. 故选：C 例3．（2023·全国·高三专题练习）已知空间四点，，，．求平面ABC的一个法向量为__________； 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据数量积的坐标运算即可根据法向量的定义进行求解. 【详解】由题知，，． 设平面ABC的法向量， 则，令，则，，∴ 所以平面ABC的一个法向量． 此外，所有都是平面ABC的法向量，任写一个皆可. 故答案为：（答案不唯 一）. 例4．（2023春·北京海淀·高三中央民族大学附属中学校考开学考试）已知平面的法向量为，直线的方向向量为，则下列选项中使得的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据法向量与方向向量的定义，即可求得本题答案. 【详解】若，则直线的方向向量垂直于平面， 所以与平面的法向量平行，显然只有选项C中满足. 故选：C 例5．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形．在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF．以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，则平面CDF的一个法向量_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法得出平面CDF的一个法向量. 【详解】解：以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz， 由题意得A（0，0，2），C（2，4，0），D（0，2，2），F（0，3，0）， ， 设平面CDF的一个法向量为， 则，取x=-1，得， 故答案为：（答案不唯一） 考点二 利用空间向量证明平行和垂直 例6．（2023春·高三课时练习）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA