1.1.1 空间向量及其线性运算 精讲（4大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1 空间向量及其线性运算 重点：空间向量的加减、数乘运算在空间几何体中的应用 难点：空间几何中向量的运算。 一、空间向量的概念及几类特殊向量 1、空间向量的有关概念 （1）空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 （2）空间向量的长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模。 （3）表示法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或 2、几类特殊向量 （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。 （2）单位向量：长度为1的空间向量，即. （3）相等向量：方向相同且模相等的向量。 （4）相反向量：方向相反但模相等的向量。 （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． （6）共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 二、空间向量的线性运算 1、空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）． 2、空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 3、空间向量的数乘运算 （1）定义：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． 的长度是的长度的||倍． （2）运算律：分配律：； 结合律：． 三、向量共线定理 1、空间向量共线的充要条件： 对任意两个空间向量，，∥的充要条件是存在实数，使得. 2、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点，存在实数，使得. 与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量. 这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示， 也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。 3、证明空间三点共线的三种思路： 对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立. （2）对空间任一点O，有. （3）对空间任一点O，有. 四、空间向量共面定理 1、定义： 如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合， 那么称向量平行与直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面. 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 2、向量共面的充要条件： 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3、向量共面证明： （1）证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用， 若用，则必须满足. （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中） 题型一 空间向量的概念理解 【例1】（2022秋·山西·高二校联考期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【变式1-1】（2022秋·山东济南·高二校考期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 【变式1-2】（2022秋·广东阳江·高二校联考期中）（多选）以下关于向量的说法正确的有（ ） A．若＝，则＝ B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 C．若＝－且＝－，则= D．若与共线，与共线，则与共线 【变式1-3】（2022秋·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）（多选）如图正四棱柱，则下列向量相等的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型二 空间向量的线性运算 【例2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体中，化简（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022秋·广东佛山·高二校联考阶段练习）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点