2.5.2 圆与圆的位置关系-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

2．5.2　圆与圆的位置关系 知识点一　判断圆与圆的位置关系 1．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　B 解析　将两圆方程化为标准方程可得C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，即两圆的圆心分别是(－1，－1)，(2，1)，半径分别是2，2，两圆的圆心距为d＝＝，由0<<4，可知两圆相交，所以公切线只有2条．故选B. 2．已知a2＋b2＝9，则圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－1＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by＋b2－4＝0(b∈R)的位置关系为(　　) A．外离 B．内含 C．内切 D．外切 答案　D 解析　因为方程x2＋y2＋2ax＋a2－1＝0可化为(x＋a)2＋y2＝1，所以圆C1：(x＋a)2＋y2＝1的圆心为C1(－a，0)，半径为r1＝1.因为方程x2＋y2－2by＋b2－4＝0可化为x2＋(y－b)2＝4，所以圆C2：x2＋(y－b)2＝4的圆心为C2(0，b)，半径为r2＝2.两圆的圆心距为|C1C2|＝＝3＝r1＋r2，所以圆C1与C2外切．故选D. 知识点二　与两圆相切有关的问题 3．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为(　　) A．x2＋y2－6x－8y＝0 B．x2＋y2＋6x－8y＝0 C．x2＋y2＋6x＋8y＝0 D．x2＋y2＋6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0 答案　B 解析　已知圆的圆心坐标为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，相切于原点，故所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3，4)，可得所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝25，即x2＋y2＋6x－8y＝0.故选B. 4．已知半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是(　　) A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6 C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36 答案　D 解析　由题意，设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，又此圆与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则＝5，所以a2＝16，所以a＝±4，故所求圆的方程是(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36. 5．(2023·辽宁名校高二期末)已知圆x2＋y2－6x＋12y－19＝0和圆x2＋y2＋6x－4y－k＝0相切，则k＝________． 答案　－9或311 解析　将两圆方程分别化为(x－3)2＋(y＋6)2＝64，(x＋3)2＋(y－2)2＝k＋13，则两圆圆心距d＝10.当两圆外切时，10＝8＋，得k＝－9；当两圆内切时，10＝|－8|，得k＝311. [名师点拨]　处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)． 知识点三　与两圆相交有关的问题 6．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b应满足的关系式是(　　) A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0 C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 答案　B 解析　由题意可得，两圆的公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心．两圆的公共弦所在直线的方程为(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，将(－1，－1)代入得a2＋2a＋2b＋5＝0. [规律方法]　求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数． 7．已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y－a2＋5＝0与圆C2：x2＋y2－(2b－10)x－2by＋2b2－10b＋16＝0交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且＋＝0，求实数b的值． 解　由＋＝0，整理得x＋y＝x＋y，所以|OA|＝|OB|(O为坐标原点)，于是两圆心连线C1C2必过原点，即C1(2，－1)，C2(b－5，b)，O(0，0)三点共线，所以＝－，解得b＝. 知识点四　与两圆位置关系有关的综合问题 8．已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是(　　) A．5 B．7 C．