2.3.4 两条平行直线间的距离-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

2．3.4　两条平行直线间的距离 知识点一　两条平行直线间的距离 1．两条平行直线l1：4x－3y＋2＝0与l2：4x－3y－1＝0之间的距离d是(　　) A．3 B. C. D．1 答案　B 解析　由两平行直线间的距离公式得d＝＝. [规律方法]　两条平行直线间的距离的求法 (1)公式法：将两条平行直线的方程化为一般式，且两条平行直线的方程中x，y的系数化为相同的，代入两条平行直线间的距离公式． (2)转化法：在一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离． 2．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则直线l的方程为(　　) A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0 C．2x－y＋2＝0 D．2x＋y＋2＝0 答案　A 解析　设直线l的方程为2x－y＋c＝0(c≠3，c≠－1)，由两条平行线间的距离公式，可得＝，解得c＝1，所以直线l的方程为2x－y＋1＝0.故选A. 3．两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d满足的条件是(　　) A．0<d≤3 B．0<d≤5 C．0<d<4 D．3≤d≤5 答案　B 解析　当两平行线与直线AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|＝5，所以0<d≤5. 4．已知两条平行直线l1：x－2y＋1＝0，l2：ax－y＋b＝0间的距离为，则|a－b|＝(　　) A. B. C．3 D．4 答案　B 解析　因为l1∥l2，所以则 l2：x－y＋b＝0，即x－2y＋2b＝0，因为直线l1与l2间的距离为，所以＝，解得b＝3或b＝－2，所以|a－b|＝.故选B. 5．已知△ABC的边AB所在直线的方程是x＋y－3＝0，边AC所在直线的方程是x－2y＋3＝0，边BC所在直线的方程是2x－y－3＝0.若△ABC夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　联立直线方程，易得点A(1，2)，B(2，1)．如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A，B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为－1，所以线段AB的长度就是分别过A，B两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝，故这两条平行直线间的距离的最小值是. 6．当m变化时，两条平行直线3x－4y＋m－1＝0和3x－4y＋m2＝0间的距离d的最小值为________． 答案　 解析　d＝＝≥，当且仅当m＝时取等号． 7．(2023·长沙一中高二期中)若直线m被两条平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：2x－2y＋5＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角为________． 答案　135° 解析　由两平行线间的距离为＝，直线m被两条平行线截得的线段长为，可得直线m和这两条平行线的夹角为90°.由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°. 知识点二　两条平行直线间距离公式的应用 8.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到l2的位置，若l1，l2和两坐标轴围成的梯形ABCD的面积为4，求直线l2的方程． 解　∵l1∥l2，可设l2的方程为x＋y－m＝0. 由题意，得A(1，0)，D(0，1)，B(m，0)，C(0，m)． ∵l2在l1的上方，∴m>1. |AD|＝＝， |BC|＝＝m. 直线l1与直线l2间的距离为＝. S梯形ABCD＝×(＋m)×＝＝4， 解得m＝3或m＝－3(舍去)． 故直线l2的方程为x＋y－3＝0. 9．正方形ABCD一条边AB所在直线的方程为x＋3y－5＝0，另一条边CD所在直线的方程为x＋3y＋7＝0. (1)求过正方形的中心G且与边AB平行的直线方程； (2)设正方形的中心G(x0，y0)，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x0的取值范围． 解　(1)设过正方形的中心G且与边AB平行的直线方程为x＋3y＋C＝0， 由平行线间的距离公式得＝. 解得C＝1.所以过正方形的中心G且与边AB平行的直线方程为x＋3y＋1＝0. (2)由平行线间的距离公式得正方形的边长为 d＝＝. 设正方形的边BC所在直线的方程为3x－y＋m＝0， 由于中心G(x0，y0)到BC的距离等于＝， 那么＝， 解得m＝±6－3x0＋y0， ① 又因为G在直线x＋3y＋1＝0上，那么x0＋3y0＋1＝0，即y0＝－，② 把②代入①得m＝±6－， ③ 联立方程 解得 由于正方形只有两个点在第一象限，那么 即解得－15＜m＜，④ 把③代入④得到－15＜±6－＜， 解得＜x0＜. 故x0的取值范围为. 一、选择题 1．(2023·辽宁名校联盟高二联考)已知直线l1：2x－y＋1＝0，直线l2：4x－2y＋3＝0，则直线l1与l2的距离为(