2.3.3 点到直线的距离公式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

2．3.3　点到直线的距离公式

 

知识点一　点到直线的距离

1．点(－1，0)到直线y＝x＋3的距离为(　　)

A．1   B．2

C.   D．2

答案　C

解析　点(－1，0)到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离d＝＝.

2．已知点P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线x－y＝0的距离是(　　)

A.(a－b)   B．b－a

C.(b－a)   D.

答案　C

解析　∵P(a，b)是第二象限的点，∴a<0，b>0，∴a－b<0，从而点P到直线x－y＝0的距离d＝＝(b－a)．

3．点(0，b)到直线x＋y－2＝0的距离为，则b＝(　　)

A．0或4   B．4

C．0   D.

答案　A

解析　∵点(0，b)到直线x＋y－2＝0的距离为，∴＝，解得b＝0或b＝4.故选A.

[规律方法]　点到直线的距离的求解方法

(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式求解即可．

(2)已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程(组)求解即可．

4．[多选]已知A(－2，－4)，B(4，2)两点到直线l：ax＋y－1＝0的距离相等，则实数a的值可能为(　　)

A．－1   B．1 

C．2   D．－2

答案　AC

解析　由A，B两点到直线l的距离相等，得＝⇔|2a＋5|＝|4a＋1|，解得a＝2或a＝－1.故选AC.

5．[易错题]一直线过点P(2，0)，且点Q到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________．

答案　90°或30°

解析　当过点P的直线垂直于x轴时，点Q到该直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°；当过点P的直线不垂直于x轴时，直线斜率存在，设过点P

的直线方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，由d＝＝4，解得k＝，此时直线的倾斜角为30°.综上，该直线的倾斜角为90°或30°.

[易错分析]　设直线的方程时，一定要考虑直线的斜率存在和不存在两种可能性，不要想当然地认为直线的斜率存在而漏解．

知识点二　点到直线距离公式的应用

6．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上任意一点，则的最小值为________．

答案　

解析　因为是点P(m，n)与原点O间的距离，所以根据直线的性质，原点O到直线2x＋y＋5＝0的距离就是的最小值．根据点到直线的距离公式可得d＝＝.

7．已知直线l：kx－y＋2＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是________．

答案　

解析　∵直线l：kx－y＋2＝0恒过点(0，2)，∴M(0，2)．∵点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，∴|MP|的最小值为点M到直线2x＋y－1＝0的距离，∴d＝＝.

8．已知△ABC的三个顶点分别为A(1，1)，B(m，)，C(4，2)，1<m<4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？