2.3.3 点到直线的距离公式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

2．3.3　点到直线的距离公式 知识点一　点到直线的距离 1．点(－1，0)到直线y＝x＋3的距离为(　　) A．1 B．2 C. D．2 答案　C 解析　点(－1，0)到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离d＝＝. 2．已知点P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线x－y＝0的距离是(　　) A.(a－b) B．b－a C.(b－a) D. 答案　C 解析　∵P(a，b)是第二象限的点，∴a<0，b>0，∴a－b<0，从而点P到直线x－y＝0的距离d＝＝(b－a)． 3．点(0，b)到直线x＋y－2＝0的距离为，则b＝(　　) A．0或4 B．4 C．0 D. 答案　A 解析　∵点(0，b)到直线x＋y－2＝0的距离为，∴＝，解得b＝0或b＝4.故选A. [规律方法]　点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式求解即可． (2)已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程(组)求解即可． 4．[多选]已知A(－2，－4)，B(4，2)两点到直线l：ax＋y－1＝0的距离相等，则实数a的值可能为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 答案　AC 解析　由A，B两点到直线l的距离相等，得＝⇔|2a＋5|＝|4a＋1|，解得a＝2或a＝－1.故选AC. 5．[易错题]一直线过点P(2，0)，且点Q到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________． 答案　90°或30° 解析　当过点P的直线垂直于x轴时，点Q到该直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°；当过点P的直线不垂直于x轴时，直线斜率存在，设过点P的直线方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，由d＝＝4，解得k＝，此时直线的倾斜角为30°.综上，该直线的倾斜角为90°或30°. [易错分析]　设直线的方程时，一定要考虑直线的斜率存在和不存在两种可能性，不要想当然地认为直线的斜率存在而漏解． 知识点二　点到直线距离公式的应用 6．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上任意一点，则的最小值为________． 答案　 解析　因为是点P(m，n)与原点O间的距离，所以根据直线的性质，原点O到直线2x＋y＋5＝0的距离就是的最小值．根据点到直线的距离公式可得d＝＝. 7．已知直线l：kx－y＋2＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是________． 答案　 解析　∵直线l：kx－y＋2＝0恒过点(0，2)，∴M(0，2)．∵点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，∴|MP|的最小值为点M到直线2x＋y－1＝0的距离，∴d＝＝. 8．已知△ABC的三个顶点分别为A(1，1)，B(m，)，C(4，2)，1<m<4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？ 解　|AC|＝＝，直线AC的方程为＝，即x－3y＋2＝0. ∵点B(m，)到直线AC的距离 d＝＝， ∴S＝|AC|·d＝|m－3＋2| ＝. ∵1<m<4，∴1<<2， ∴0<≤，0<S≤. ∴当＝，即m＝时，△ABC的面积S最大． 9.如图，某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演，其中|AB|＝40，|BC|＝15，O为AB上一点(不与端点重合)，且|BO|＝10，线段OC，OD，MN为表演队列所在位置(M，N分别在线段OD，OC上)，△OCD内的点P为领队位置，且点P到OC，OD的距离分别为，，记|OM|＝d.当d为何值时，P为队列MN的中点？ 解　以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则C(10，15)，B(10，0)，D(－30，15)， ∴直线OC的方程为y＝x，直线OD的方程为y＝－x，设P(a，b)(a<0，b>0)，M(－2m，m)，N(m>0，n>0)． 由题意得即 ∴或(舍去)，∴P. ∵P为MN的中点， ∴解得 ∴M，∴d＝|OM|＝， ∴当d＝时，P为队列MN的中点． 一、选择题 1．(2023·河北张家口高二期末)点P到直线y＝2x－2的距离为(　　) A．5 B. C．3 D. 答案　B 解析　因为直线方程可化为2x－y－2＝0，所以点P到直线的距离为＝.故选B. 2．直线2x＋3y－4＝0关于点(2，1)对称的直线方程是(　　) A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y＋6＝0 C．3x－2y－10＝0 D．2x＋3y－10＝0 答案　D 解析　设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0(C≠－4)，由题意可知＝.∴C＝－4(舍去)或C＝－10，故所求直线的方程为2x＋3y－10＝0. 3．若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则