2.3.2 两点间的距离公式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

2．3.2　两点间的距离公式 知识点一　两点间距离公式 1．一条平行于x轴的线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2，1)，则它的另一个端点B的坐标是(　　) A．(－3，1)或(7，1) B．(2，－4)或(2，6) C．(－3，1)或(5，1) D．(2，－5)或(2，5) 答案　A 解析　因为AB平行于x轴，所以点B的纵坐标为1.因为线段的长度为5，所以点B的横坐标为7或－3. 2．已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A．4 B. C. D. 答案　D 解析　由题意知解得∴点P(4，1)到原点的距离d＝＝. 知识点二　两点间距离公式的应用 3．已知平面直角坐标系中两点A(1，0)，B(5，0)，直线l的方程为y＝x，直线l上有两动点P，Q(P在Q的左下侧)且|PQ|＝，则|AP|＋|QB|的最小值为(　　) A．3 B．2 C．4 D．2 答案　A 解析　因为P，Q是直线l：y＝x上的两点，P在Q的左下侧，所以设P(2y1，y1)，Q(2y2，y2)，且y1<y2.因为|PQ|＝，所以＝，则|y1－y2|＝1，故y2－y1＝1，即y2＝y1＋1，所以|QB|＝＝，则|QB|可转化为P(2y1，y1)到C(3，－1)的距离，不妨设A(1，0)关于直线l：y＝x的对称点为A′(x，y)，则解得即A′，所以|AP|＋|QB|＝|A′P|＋|PC|≥|A′C|＝＝3(当且仅当A′，P，C三点共线时，等号成立)，即|AP|＋|QB|的最小值为3.故选A. 4．直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 答案　B 解析　因为l1：x－my－2＝0与l2：mx＋y＋2＝0的交点坐标为Q，所以|OQ|＝＝＝，当m＝0时，|OQ|max＝2，所以|OQ|的最大值是2.故选B. 5．已知△ABC的三个顶点分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)． (1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积． 解　(1)如图，△ABC为直角三角形，下面进行验证： 解法一：∵|AB|＝ ＝2， |AC|＝＝， |BC|＝＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． 解法二：∵kAB＝＝－2， kAC＝＝， ∴kABkAC＝－1，∴AB⊥AC， ∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． (2)∵A＝90°，|AB|＝2，|AC|＝， ∴S△ABC＝|AB|·|AC|＝5. [名师点拨]　平面上两点间的距离公式的应用类型 (1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的函数、方程或方程组求解． (2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形，如果满足勾股定理，则是直角三角形． 知识点三　运用坐标法解决平面几何问题 6．证明：在直角三角形中，斜边的中点到三个顶点的距离相等． 证明　如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝，D为斜边BC的中点，所以以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设B(a，0)，C(0，b)， 则D， 所以|DA|＝＝， |DC|＝＝， |DB|＝＝， 所以|DA|＝|DC|＝|DB|，即在直角三角形中，斜边的中点到三个顶点的距离相等． 7．在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形． 证明　作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)． 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)． 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|， 所以，由两点间的距离公式可得 b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)， 即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)． 又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c. 所以|AB|＝，|AC|＝＝，所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形． [规律方法]　用坐标法解决平面几何问题的基本步骤 第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数计算． 在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考虑是否为直角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考虑边是否相等或是否满足勾股定理； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系． 提醒：建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算． 8．求