2.3.1 两条直线的交点坐标-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

2．3　直线的交点坐标与距离公式 2．3.1　两条直线的交点坐标 知识点一　两条直线的交点问题 1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　) A．(4，1) B．(1，4) C. D. 答案　C 解析　由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是. 2．如果直线l1：4ax＋y＋2＝0与直线l2：(1－3a)x＋y－2＝0相交，交点的纵坐标为8，则a的值为(　　) A. B．－ C．－ D. 答案　A 解析　由方程组解得 由题意知＝8，即a＝. 3．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和2x－3y＋3＝0的交点，且平行于直线y＝x的直线的一般式方程为________． 答案　3x－3y＋4＝0 解析　由解得故交点坐标为，由所求直线平行于直线y＝x，可得所求直线的斜率为1，故所求直线的方程为y－＝x＋1，化为一般式方程为3x－3y＋4＝0. 4．分别判断下列直线是否相交．若相交，求出它们的交点坐标： (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：4x＋2y＋5＝0和l2：y＝－2x＋3. 解　(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. [名师点拨]　判断两条直线的位置关系，关键是看两条直线的方程组成的方程组的解的情况． 知识点二　直线过定点问题 5．不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　直线(a－3)x＋2ay＋6＝0可化为a(x＋2y)－3x＋6＝0，令解得因为点(2，－1)在第四象限，所以直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第四象限．故选D. [规律方法]　解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(A1B2－A2B1≠0)，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 6．若非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，且直线＋＝1过一定点，则定点坐标为(　　) A. B．(1，3) C．(－3，－2) D. 答案　A 解析　∵非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，∴＝＋.∵＋＝1，∴＋y＝1，∴6x＋(a＋1)y＝3a，∴(6x＋y)＋a(y－3)＝0.由解得∴定点坐标为. 知识点三　对称问题 7．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) 答案　B 解析　直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2过定点(0，2)． 8．若光线沿直线7x－y－3＝0入射到直线2x－y＋2＝0后反射，求反射光线所在直线的方程． 解　由得 即直线7x－y－3＝0与直线2x－y＋2＝0的交点为N(1，4)．在直线7x－y－3＝0上取点H(0，－3)， 设点H(0，－3)关于2x－y＋2＝0的对称点为H′(m，n)， 则解得即H′(－4，－1)．因为kNH′＝＝1，所以反射光线所在直线的方程为y－4＝x－1，即x－y＋3＝0. 一、选择题 1．设A＝{(x，y)|x＋y－4＝0}，B＝{(x，y)|2x－y－5＝0}，则集合A∩B＝(　　) A．{1，3} B．{(1，3)} C．{(3，1)} D．∅ 答案　C 解析　由得故A∩B＝{(3，1)}． 2．(2023·长沙一中高二期末)过两条直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　) A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0 答案　D 解析　过两条直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0. 3．已知一条光线从点P(－1，5)射出，经直线x－y＝0反射后经过点(2，3)，则反射光线所在直线的方程为(　　) A．2x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－17＝0 C．4x＋3y－17＝0 D．3x＋2y－12＝0 答案　C 解析　设点P(－1，5)关于直线x－y＝0的