2.2.3 直线的一般式方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

2．2.3　直线的一般式方程 知识点一　直线的一般式方程 1．如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　由Ax＋By＋C＝0，可得y＝－x－(B≠0)，因为AB<0，BC<0，故－>0，－>0，故直线Ax＋By＋C＝0不经过第四象限．故选D. 2．下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 答案　B 解析　将一般式化为斜截式，斜率为－的有B，C两项，其中B项化为y＝－x－，C项化为y＝－x＋14.又y＝－x＋14过点(3，10)，即直线经过第一象限，所以只有B满足要求． 3．根据下列条件求直线的一般式方程： (1)直线的斜率为2，且经过点A(1，3)； (2)斜率为，且在y轴上的截距为4； (3)经过A(2，－3)，B(－1，－5)两点； (4)在x，y轴上的截距分别为2，－4. 解　(1)因为k＝2，且经过点A(1，3)，由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0. (2)由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程为y＝x＋4，整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0. (3)由直线的两点式方程可得＝，整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0. (4)由直线的截距式方程可得＋＝1，整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0. 知识点二　平行、垂直问题 4．[多选]已知直线l1：xsinα＋y＝0与l2：3x＋y＋c＝0，则下列结论正确的是(　　) A．直线l1与直线l2可能重合 B．直线l1与直线l2可能垂直 C．直线l1与直线l2可能平行 D．存在直线l1上一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合 答案　BD 解析　∵直线l1：xsinα＋y＝0的斜率为k1＝－sinα，直线l2：3x＋y＋c＝0的斜率k2＝－3，－1≤sinα≤1，∴k1，k2不可能相等，∴直线l1与直线l2不可能重合，也不可能平行，故A，C错误；当sinα＝－时，k1k2＝－1，l1⊥l2，∴直线l1与直线l2可能垂直，故B正确；∵直线l1与直线l2不可能重合，也不可能平行，∴直线l1与直线l2一定有交点P，∴存在直线l1上一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合，故D正确．故选BD. 5．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l平行； (2)过点(－1，3)，且与l垂直． 解　解法一：l的方程可化为y＝－x＋3， ∴l的斜率为－. (1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－. 又l′过点(－1，3)， ∴由点斜式知直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)， 即3x＋4y－9＝0. (2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为， 又l′过点(－1，3)， ∴由点斜式可得直线l′的方程为y－3＝(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0. 解法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)． 将(－1，3)代入上式得m＝－9. ∴直线l′的方程为3x＋4y－9＝0. (2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0. 将(－1，3)代入上式得n＝13. ∴直线l′的方程为4x－3y＋13＝0. [规律方法]　过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程． (2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 6．已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值： (1)l1⊥l2； (2)l1∥l2. 解　(1)∵l1⊥l2，∴3×m＋(m＋1)×2＝0， ∴m＝－. (2)∵l1∥l2，∴3×2＝m×(m＋1)， ∴m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，l1∥l2； 当m＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去． ∴m＝－3. [名师点拨]　利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔