2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 知识点一　两条直线平行 1．[多选]满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是(　　) A．l1的斜率为2，l2过点A(1，2)，B(4，8) B．l1经过点P(3，3)，Q(－5，3)，l2平行于x轴，且不经过点P C．l1经过点M(－1，0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)，S(0，5) D．l1的一个方向向量为(1，1)，l2的倾斜角为 答案　BC 解析　对于A，由题意得kAB＝＝2，所以l1与l2平行或重合，故A错误；对于B，由题意得kPQ＝＝0，因为l2平行于x轴，且不经过点P，所以l1∥l2，故B正确；对于C，由题意得kMN＝＝，kRS＝＝，kMR＝＝－1，所以l1∥l2，故C正确；对于D，直线l1的斜率为＝1，直线l2的斜率为tan＝，所以l1与l2不平行，故D错误．故选BC. [名师点拨]　在判断两条直线平行时，要注意区分平行与重合，因为两条直线重合也可以推出两条直线的斜率相等． 2．过点A(4，a)，B(5，b)的直线与直线l平行，又直线l的斜率为1，则a与b满足(　　) A．b－a＝1 B．a－b＝1 C．b＋a＝1 D．b＋a＝－1 答案　A 解析　依题意，直线AB与l平行，且直线l的斜率为1，故kAB＝＝1，所以b－a＝1.故选A. 3．过A(m，3)，B(－1，m)两点的直线与直线l平行，直线l的倾斜角为45°，则m＝________． 答案　1 解析　因为直线l的倾斜角为45°，所以直线l的斜率k＝tan45°＝1，过A(m，3)，B(－1，m)两点的直线的斜率kAB＝，又直线AB与直线l平行，所以＝1，解得m＝1. 知识点二　两条直线垂直 4．已知过A(m，1)，B(－1，m)两点的直线与过P(1，2)，Q(－5，0)两点的直线垂直，则m＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案　D 解析　由题意可知kPQ＝＝，∴kAB＝＝－3，解得m＝－2.故选D. 5．(2023·济南一中高二期中)已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a＝________． 答案　1或3 解析　∵kAB＝＝－，又l1⊥l2，∴－·＝－1，得a＝1或a＝3. 6．已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值． 解　若∠A为直角，则AC⊥AB， ∴kAC·kAB＝－1，即·＝－1，解得m＝－7； 若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即·＝－1，解得m＝3； 若∠C为直角，则AC⊥BC， ∴kAC·kBC＝－1，即·＝－1，解得m＝±2. 综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2. 知识点三　平行与垂直的应用 7．已知点A(2，0)，B(1，－1)，C(3，3)，在坐标平面内找一点P，使PA∥CB且PC⊥AB. 解　kCB＝＝2，kAB＝＝1， ∴直线PA和PC的斜率存在且不为0， 设点P的坐标为(x，y)， 则kPA＝，kPC＝. 又PA∥CB且PC⊥AB， ∴∴ ∴点P的坐标为. 8．已知四边形ABCD的四个顶点是A(2，2＋2)，B(－2，2)，C(0，2－2)，D(4，2)，求证：四边形ABCD为矩形． 证明　因为四个点的横坐标各不相等，所以四边形四条边所在直线的斜率都存在， 所以kAB＝＝， kBC＝＝－， kCD＝＝， kAD＝＝－， 所以kAB＝kCD，kBC＝kAD， 所以AB∥CD，BC∥AD， 所以四边形ABCD为平行四边形． 又kAB·kBC＝×(－)＝－1， 所以四边形ABCD为矩形． [规律方法]　使用斜率公式判定两条直线垂直的步骤 一看：看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步． 二代：将点的坐标代入斜率公式． 三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应注意对参数进行讨论． 一、选择题 1．(2023·长沙一中高二期中)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以点A为直角顶点的直角三角形 D．以点B为直角顶点的直角三角形 答案　C 解析　kAB＝＝－，kBC＝＝－5，kAC＝＝，因为kABkAC＝－1，所以AB⊥AC，所以三角形是以点A为直角顶点的直角三角形． 2．已知点A(0，1)，B(4，2)，若点P在坐标轴上，则满足PA⊥PB的点P的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　当点P在x轴上时，设其坐标为P(x，0)，当x＝0或4时，PA与PB不垂直．由PA⊥PB可得×＝－1，即x2－4x＋2＝0，由于Δ＝(－4)2－4×1×2＝8>0