2.1.1 倾斜角与斜率-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

第二章　直线和圆的方程 2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1.1　倾斜角与斜率 知识点一　直线的倾斜角 1．给出下列说法： ①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝，则α＝45°. 其中正确说法的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　任意一条直线有唯一的倾斜角，故①正确；直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，故②错误；倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故③错误；④中α＝0°时，sinα＝0，故④错误；⑤中α有可能为135°，故⑤错误．故选A. 2．已知直线l过点(m，1)，(m＋1，1－tanα)，则(　　) A．α一定是直线l的倾斜角 B．α一定不是直线l的倾斜角 C．180°－α不一定是直线l的倾斜角 D．180°－α一定是直线l的倾斜角 答案　C 解析　设θ为直线l的倾斜角，则tanθ＝＝－tanα.当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－，此时θ＝150°.比较各选项可知选C. 知识点二　直线的斜率 3．已知直线l1的斜率为，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率为(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　直线l1的斜率为，设直线l1的倾斜角为α，则tanα＝，所以α＝60°，所以直线l2的倾斜角为2α＝120°，斜率为tan120°＝－. 4．[多选]下列叙述正确的是(　　) A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应 C．与y轴垂直的直线的斜率为0 D．与x轴垂直的直线的斜率不存在 答案　ACD 解析　每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率，故A正确，B错误；垂直于y轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0，故C正确；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故D正确．故选ACD. 知识点三　斜率公式的应用 5．(1)求经过下列两点的直线的倾斜角和斜率： ①A(－2，0)，B(－5，3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)． (2)(2023·山东潍坊高二期末)已知直线l的一个方向向量为(1，)，求直线l的倾斜角． (3)[易错题]已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围． (4)(2023·岳阳一中高二月考)若过两点A(3－n－n2，－2n)，B(n2＋2，3－n2)的直线的倾斜角为135°，求n的值． 解　(1)①∵A(－2，0)，B(－5，3)， ∴kAB＝＝＝－1， ∴直线AB的倾斜角为135°. ②∵A(3，2)，B(5，2)，∴kAB＝＝0， ∴直线AB的倾斜角为0°. ③∵A(3，－1)，B(3，3)， ∴直线AB的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l的倾斜角为θ，0°≤θ＜180°，由题意得tanθ＝， ∴θ＝60°. (3)设直线l的斜率为k，倾斜角为α， 当m＝2时，A(2，1)，B(2，3)． 直线AB的倾斜角为90°，斜率k不存在； 当m＞2时，k＝＝＞0， 此时，直线l的倾斜角为锐角，即0°<α<90°； 当m＜2时，k＝＝＜0， 此时，直线l的倾斜角为钝角，即90°<α<180°. [易错分析]　本题容易忽略斜率不存在的情况． (4)依题意可得，直线的斜率为－1，又直线过两点A(3－n－n2，－2n)，B(n2＋2，3－n2)，即＝－1. 整理，得＝1，且2n2＋n－1≠0. 解得n＝－2. 知识点四　三点共线问题 6．若A(a，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则＋＝________． 答案　－ 解析　由题意得kAC＝kBC，即＝，ab＋2(a＋b)＝0，∴＋＝－. [名师点拨]　用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中任意两点的连线的斜率是否存在．当任意两点的连线的斜率不存在时，则三点横坐标相等，三点共线．当任意两点连线的斜率存在时，只要斜率相等，则三点共线． 一、选择题 1．已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是(　　) A．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案　D 解析　因为直线l的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜195°. 2．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　B 解析　设A(a，b)是直线l上任意一