第一章 空间向量与立体几何 单元质量测评-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

第一章　单元质量测评 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为(　　) A．(－2，2，0) B．(2，－2，0) C. D. 答案　C 解析　由＝(－1，1，0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1)．又BH⊥OA，∴·＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1，1，0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H.故选C. 2．已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是(　　) A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．a∥b，b⊥c 答案　C 解析　∵a＝(－2，－3，1)，c＝(－4，－6，2)，∴c＝2a，∴a∥c.又a·b＝(－2，－3，1)·(2，0，4)＝0，∴a⊥b.故选C. 3．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是(　　) A．(1，1，－1) B．(1，－1，1) C．(－1，1，1) D．(－1，－1，－1) 答案　D 解析　＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝－1，则y＝－1，z＝－1，故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．故选D. 4．已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x，y的值为(　　) A．x＝－13，y＝8 B．x＝－13，y＝5 C．x＝7，y＝5 D．x＝7，y＝8 答案　A 解析　∵a∥b且a≠0，∴b＝λa，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp.又m，n，p不共面，∴＝＝，∴x＝－13，y＝8.故选A. 5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝3，AB＝3，AA1＝4，则异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为(　　) A．－ B. C. D. 答案　C 解析　因为AC＝3，BC＝3，AB＝3，所以AC2＋BC2＝AB2，所以∠ACB为直角，又侧棱与底面垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系．易得C(0，0，0)，C1(0，0，4)，A1(3，0，4)，B(0，3，0)，所以＝(－3，0，－4)，＝(0，－3，4)，设异面直线A1C与BC1所成的角为θ，则cosθ＝＝＝.故选C. 6.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 答案　B 解析　如图，以C1B1，C1D1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝a，所以M，N，所以＝.又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，所以＝(0，a，0)，所以·＝0，所以⊥.因为是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C. 7．在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则平面PBC与平面PAB夹角的正切值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设PA＝AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，2，0)，C(，1，0)，P(0，0，2)，∴＝(0，－2，2)，＝(，－1，0)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则 即令y＝，则x＝1，z＝，即n＝(1，，)．易知m＝(1，0，0)是平面PAB的一个法向量，则|cos〈m，n〉|＝＝＝，∴tan〈m，n〉＝.故选A. 8.(2023·湖南长沙一中高二月考)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1，BB1的中点，G为面对角线A1D上的一点，且＝λ(0≤λ≤1)，若A1C⊥平面EFG，则λ＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，E(1，2，2)，F(2，2，1)，所以＝(－2，2，－2)，＝(2，0，2)，＝(1，0，－1)，由＝λ(0≤λ≤1)，可得G(2λ，0，2λ)，所以＝(2λ－1，－2，2λ－2)，＝(2λ－2，－2，2λ－1)，因为A1C⊥平面EFG，所以⊥，⊥，所以·＝0，·＝0，即解得λ＝，当G为线段A1D上靠近D