1.3.1-1.3.2 空间向量及其运算的坐标表示-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

1．3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 1．3.2　空间向量运算的坐标表示 知识点一　空间直角坐标系及空间向量的坐标 1．已知O为原点，＝2a＋b＋3c，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则向量在基底{i，j，k}下的坐标为(　　) A．(7，3，12) B．(3，7，12) C．(2，4，6) D．(8，3，12) 答案　D 解析　＝2a＋b＋3c＝8i＋4j＋2j＋3k＋9k－3j＝8i＋3j＋12k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标为(8，3，12)． 2.[多选]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 答案　ACD 解析　由题图及已知可得，点B1的坐标为(4，5，3)，点C1(0，5，3)关于点B对称的点为(8，5，－3)，点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，因此A，C，D正确．故选ACD. [名师点拨]　求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”，如点(x，y，z)关于y轴的对称点为(－x，y，－z)，关于Oyz平面的对称点是(－x，y，z)． 知识点二　空间向量的坐标运算 3．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则a－b＋2c＝(　　) A．(－9，－3，0) B．(0，2，－1) C．(9，3，0) D．(9，0，0) 答案　C 解析　a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)．故选C. 4．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______． 答案　2 解析　根据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2. 5．已知点A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，若＝2，则点P的坐标是________． 答案　(－1，3，3) 解析　解法一：设点P(x，y，z)，则由＝2，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，则解得即P(－1，3，3)． 解法二：设O为原点，∵＝2，∴－＝2(－)，∴3＝＋2，∴＝＋＝(－1，3，1)＋(－1，3，4)＝＋＝(－1，3，3)，即P(－1，3，3)． 知识点三　平行与垂直问题 6．(2023·河北邢台高二月考)已知空间向量a＝(1，2，3)，b＝(m，－1，n)，若a∥b，则m＋n＝________． 答案　－2 解析　由题意可知b＝λa，所以有解得所以m＋n＝－2. 7．已知向量a＝(2，0，2)，b＝(1，2，0)，c＝(2，2，x)．若(a＋3b)⊥c，则x＝________． 答案　－11 解析　因为a＝(2，0，2)，b＝(1，2，0)，c＝(2，2，x)，所以a＋3b＝(5，6，2)，又(a＋3b)⊥c，所以5×2＋6×2＋2x＝0，解得x＝－11. 知识点四　夹角与距离问题 8．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________． 答案　120° 解析　(2a＋b)·c＝0×1＋(－5)×(－2)＋10×(－2)＝－10，即2a·c＋b·c＝－10.又a·c＝4，∴b·c＝－18，又|c|＝3，|b|＝12，∴cos〈b，c〉＝＝－.∵0°≤〈b，c〉≤180°，∴〈b，c〉＝120°. 9．(2023·广东江门高二统考期末)若两个单位向量＝(m，n，0)，＝(n，0，p)与向量＝(1，1，1)的夹角都为，则cos∠AOB＝________． 答案　 解析　∵两个单位向量＝(m，n，0)，＝(n，0，p)与向量＝(1，1，1)的夹角都为，∴∠AOC＝∠BOC＝，||＝，||＝||＝1，∴·＝||||cos＝×1×＝，||2＝m2＋n2＝1，又·＝m＋n，则m＋n＝，∴2mn＝(m＋n)2－(m2＋n2)＝－12＝，即mn＝，∵·＝mn，∴cos∠AOB＝＝mn＝. 10.在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2. (1)求BP的长； (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值