1.2 空间向量基本定理-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

1．2　空间向量基本定理 知识点一　基底的概念 1.(2023·辽宁鞍山一中高二月考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，则下列向量能组成基底的是(　　) A.，， B.，， C.，， D.，， 答案　A 解析　，，不共面，，，共面，，，共面，，，共面．故选A. 2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(　　) A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c 答案　C 解析　对于A，有3a＝2(a－b)＋(a＋2b)，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D不能作为基底．故选C. [名师点拨]　判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面． 3．[多选]O，A，B，C为空间的四个点，又{，，}为空间的一个基底，则下列说法正确的是(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 答案　ACD 解析　由于{，，}为空间的一个基底，所以，，不共面，因此O，A，B，C四点一定不共面，则A，C，D正确，B错误．故选ACD. 知识点二　用基底表示向量 4．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的对角线的交点，则(　　) A.＝－a＋b＋c B.＝－b－a－c C.＝a－b－c D.＝a－b＋c 答案　D 解析　＝＋＝－＋(＋)＝－＋＝a－b＋c. 5．(2023·济南一中高二期中)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　) A．1 B. C. D. 答案　C 解析　连接AM，AN，如图，因为G是MN的中点，所以＝(＋)＝＝＋＋，根据题意知＝x＋y＋z，所以x＋y＋z＝.故选C. 6.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．设＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示； (2)设E是棱DD1上的点，且＝，用a，b，c表示. 解　(1)因为O为AC的中点，＝a，＝b，＝c， 所以＝＝(＋)＝(a＋b)， 所以＝＋＝－c＋a＋b＝a＋b－c. (2)因为＝， 所以＝＋＋＝－－＋(a＋b)＝－c－b＋(a＋b)＝a－b－c. 知识点三　用空间向量基本定理证明垂直 7．(2023·山西太原高二统考期中)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝∠DAA1＝∠BAA1＝60°.求证：AC1⊥BD. 证明　·＝(＋)·＝(＋)·(＋)＝(＋＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＋·＋·＝－16＋0＋16＋0＝0，故AC1⊥BD. 8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：OB1⊥平面PAC. 证明　如图，连接BD， 则BD过点O，令＝a，＝b，＝c， 设|a|＝|b|＝|c|＝1， 则{a，b，c}构成空间的一个单位正交基底． ∵＝＋＝a＋b， ＝＋＝＋ ＝(－)＋ ＝a－b＋c， ∴·＝(a＋b)· ＝|a|2＋a·b－a·b－|b|2＋a·c＋b·c ＝－＝0. ∴⊥，即AC⊥OB1. 又＝＋＝b＋c， ∴·＝· ＝a·b－|b|2＋b·c＋a·c－b·c＋|c|2＝－＋＝0， ∴⊥，即OB1⊥AP. 又AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC. ∴OB1⊥平面PAC. 知识点四　用空间向量基本定理证明平行 9．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：(1)EG∥AC； (2)平面EFG∥平面AB′C. 证明　取基底{，，}， (1)因为＝＋＝＋， ＝＋＝2，所以∥， 又EG，AC无公共点，所以EG∥AC. (2)因为＝＋＝＋， ＝＋＝2，所以∥， 又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′. 又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C， 所以FG∥平面AB′C. 又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C， 又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面AB′C. [规律方法]　证明直线与直线平行、平面与平