1.1.2 空间向量的数量积运算-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

1．1.2　空间向量的数量积运算 知识点一　空间向量的数量积运算 1．下列式子中，正确的是(　　) A．a·|a|＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2 C.＝ D．|a·b|≤|a||b| 答案　D 解析　A显然错误；(a·b)2＝(|a||b|cos〈a，b〉)2＝|a|2|b|2·cos2〈a，b〉，而a2·b2＝|a|2|b|2，不一定与(a·b)2相等，所以B错误；因为＝，不一定与相等，所以C错误；因为|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|，而|cos〈a，b〉|≤1，所以D正确． 2．(2023·广东雷州市白沙中学高二阶段练习)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a·(b＋c)的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．0 答案　D 解析　由题意可知a⊥b，a⊥c，因此a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0. 3.如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，△ABC是底面圆的内接正三角形，则·＝(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　·＝(＋)·(＋)＝2＋·＝3＋1×1×＝. [名师点拨]　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，若三者并未给出，则根据向量运算法则对向量进行分解，利用“垂直”将数量积消化掉． 4．[多选]已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是(　　) A．(＋＋)2＝32 B.·(－)＝0 C．向量与向量的夹角是60° D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··| 答案　AB 解析　由向量的加法得到＋＋＝，∵A1C2＝3A1B，∴2＝32，故A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴·＝0，∴|··|＝0，故D不正确．故选AB. 知识点二　用数量积求夹角或长度 5．(2023·山东临沂高二期中)四面体ABCD中，AC＝AD＝2AB＝2，∠BAD＝60°，·＝2，则∠BAC＝(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° 答案　C 解析　由题意知，AC＝AD＝2AB＝2，∠BAD＝60°，所以·＝·(－)＝·－·＝||||·cos∠BAD－||||cos∠BAC＝2，所以1×2cos60°－1×2cos∠BAC＝2，解得cos∠BAC＝－，所以∠BAC＝120°. 6．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B，D两点间的距离为(　　) A. B. C. D．2 答案　A 解析　如图所示，过点B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，则可得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1.由于＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝＋12＋＋2×(0＋0＋0)＝，所以||＝，即B，D两点间的距离为.故选A. 7．(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝AA1＝1，则AC1＝________． 答案　 解析　由空间向量可得＝＋＋，2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2||||cos∠BAD＋2|||1|cos∠A1AD＋2||||·cos∠A1AB＝3＋2cos60°＋2cos60°＋2cos60°＝6，所以||＝，即AC1＝. 8．(2023·鄂东南高二期中联考)三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________． 答案　 解析　如图所示，设该三棱柱的棱长为1，依题意有＝＋，＝＋＋＝＋－，则||2＝(＋)2＝2＋2·＋2＝2＋2cos60°＝3，||2＝(＋－)2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝2，又·＝(＋)·(＋－)＝·＋·－2＋·＋2－·＝＋－1＋＋1－＝1，所以cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. 知识点三　用数量积证明垂直 9.如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC. 证明　∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA， ∴△OAC≌△OAB，∴∠AOC＝∠AOB. ∵·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠AOC－||||·cos∠AOB＝0， ∴OA⊥BC. [规律方法]　证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据直线的方向向量的数量积