重难点09 线线角、线面角、二面角与距离七大题型汇总-2022-2023学年高一数学下学期期末复习【重点·难点】专练

重难点09 线线角、线面角、二面角与距离七大题型汇 技巧一.异面直线所求的角 1.求异面直线所成的角的步骤 一作，即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角 二证，即证明作出的角是异面直线所成的角 三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 2.向量法 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为θ，则 技巧二.直线与平面所成的角 线面角的求法：斜线与平面所成角的范围为具体操作方法： ①在直线 上任取一点A（通常都是取特殊点），向平面α引（通常都是找+证明）垂线A0；②连接斜足与垂足MO； ③则斜线与射影MO所成的角△AMO，就是直线与平面所成角. 技巧三.二面角的求法 1.定义法 利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法． 2.三垂线法 是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法．这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线．此方法是属于较常用的． 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直． 3.垂面法 作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角．关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面． 题型1异面直线所成的角 【例题1】（2022春·四川宜宾·高一四川省高县中学校校考期末）如图所示，在长方体中，，，点E，F，G分别是，，的中点，则异面直线与所成的角是_____. 【变式1-1】（2020春·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考期末）如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_________． 【变式1-2】（2022春·福建莆田·高一莆田一中校考期末）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下面命题不正确的是（    ） A．与是异面直线； B．与平行 C．与成角； D．与平行 【变式1-3】（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）如图，四面体ABCD中，，AC=2，M、N分别为BC、AD的中点，MN=1，则异面直线AC与BD所成的角是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2022春·辽宁丹东·高一统考期末）在正方体中，点在线段上，则（    ） A．与所成角等于 B．平面 C．平面平面 D．三棱锥体积为定值 【变式1-5】（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在四面体ABCD中，，且异面直线AB与CD所成的角为70，M，N分别是边BC，AD的中点，则异面直线MN和AB所成的角为（    ） A．35 B．55 C．35或55 D．20或70 【变式1-6】（2022春·黑龙江绥化·高一校考期末）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则正确的序号是______. ①平面；               ②与所成角为； ③该二十四等边体的体积为；     ④该二十四等边体外接球的表面积为. 题型2直线与平面所成的角 【例题2】（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022春·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）已知平面，直线，记与所成的角分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）（2022春·安徽合肥·高一校考期末）如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，则下列结论中正确的是（    ） A． B．平面SCD C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 【变式2-3】（2022春·河南许昌·高一统考期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3． (1)求证：PA⊥平面PCD； (2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值． 【变式2-4】（2022春·福建福州·高一校联考期末）如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是. (1)证明：平面EFDC； (2)求直线与平面所成角