5.3.3 第1课时 最大值与最小值-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

5．3.3　最大值与最小值 第1课时　最大值与最小值 学业标准 素养目标 1．理解函数的最值的概念．(难点) 2．了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点) 3．会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点) 1．通过函数最大(小)值存在性的学习，体现直观想象核心素养． 2．借助函数最值的求解问题，提升数学运算的核心素养． [教材梳理] 导学　 函数的最大值与最小值 下图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象． 　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值． [提示]　f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值． 　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值和最小值？若存在，分别为多少？ [提示]　存在．f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3). 　函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？ [提示]　不一定，也可能是区间端点的函数值． 　怎样确定函数f(x)在区间[a，b]上的最小值和最大值？ [提示]　比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值． ◎结论形成 1．最大值与最小值的概念 (1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有__f(x)≤f(x0)__，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值．最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值__唯一__． (2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有__f(x)≥f(x0)__，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值．最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值__唯一__． 2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求f(x)在区间(a，b)上的__极值__． (2)将第(1)步中求得的__极值__与__f(a)__，__f(b)__比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最大值不一定是函数的极大值．(　　) (2)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．(　　) (3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．(　　) (4)函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．连续函数y＝f(x)在[a，b]上(　　) A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值 C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值 解析　由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值． 答案　D 3．(2022·扬州期末)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 解析　f(x)定义域为(0，＋∞)，依题可知，f＝－2，f′＝0，而f′(x)＝－，所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，所以f′(x)＝－＋，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，x＝1时取最大值，满足题意，即有f′＝－1＋＝－.故选B. 答案　B 4．函数f(x)＝x3－x2－3x＋6在[－4，4]上的最大值为____________，最小值为____________． 解析　f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，得x<－1或x>3， 令f′(x)<0，得－1<x<3， 故f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减， 故f(x)的极大值为f(－1)＝，极小值为f(3)＝－3， 又f(－4)＝－，f(4)＝－， 故f(x)的最大值为f(－1)＝，最小值为f(－4)＝－. 答案　　　－ 题型一　求函数的最值 　求下列各函数的最值． (1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]； (2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0，2π]. [自主解答]　(1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1，1]内恒大于0，∴f(x)在[－1，1]上单调递增．故当x＝－1时，f(x)min＝－12； 当x＝1时，f(x)max＝2. 即f(x)的最小值为－12，最大值为2. (2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0，2π]，解得x＝或x＝， 计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋， f＝－. 所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. [规律方法] 求解函数在定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行