4.3.3 第2课时 等比数列前n项和的性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

第2课时　等比数列前n项和的性质 学业标准 素养目标 1．掌握等比数列前n项和的性质的应用．(重点) 2．掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点) 3．能用分组转化法求数列的和．(重点、易错点) 1．通过等比数列前n项和公式的函数特征的学习，体现了逻辑推理素养． 2．借助等比数列前n项和性质的应用及分组求和，培养学生的数学运算素养． [教材梳理] 导学　等比数列前n项和的性质 　在等比数列{an}中，若q≠1时，Sn＝＝.可以把Sn写成Sn＝Aqn－A的形式，那么等比数列的前n项和还有其他一些性质吗？ [提示]　有 ◎结论形成 等比数列前n项和的性质 (1)性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是__等比__数列． (2)性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则 ①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝__q__． ②在等比数列中，若项数为2n＋1(n∈N*)，则＝q. ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2.(　　) (2)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1－1，则a＝1.(　　) (3)若数列{an}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．(　　) (4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．设Sn为等比数列{an}的前n项和且Sn＝3n＋1－A，则A＝(　　) A．－　　 B．　　 C．－3　　 D．3 解析　根据等比数列{an}的前n项和公式知Sn＝＝qn－(q≠1)，又Sn＝3n＋1－A＝3·3n－A，得＝3＝A，故选D. 答案　D 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝(　　) A．　　 B．－　　 C．　　 D． 解析　法一　由等比数列前n项和的性质知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，又a7＋a8＋a9＝S9－S6，则S3，S6－S3，a7＋a8＋a9成等比数列，从而a7＋a8＋a9＝＝.故选A. 法二　因为S6＝S3＋S3q3，所以q3＝＝ －，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝S3q6＝8×＝.故选A. 答案　A 4．(2022·连云港期末)在等比数列中，q＝，S100＝150，则a2＋a4＋a6＋…＋a100的值是________． 解析　设T1＝a1＋a3＋a5＋…＋a99，T2＝a2＋a4＋a6＋…＋a100， 所以＝＝，所以S100＝T1＋T2＝2T2＋T2＝3T2＝150， 所以T2＝a2＋a4＋a6＋…＋a100＝50.故答案为50. 答案　50 题型一　等比数列前n项和性质的应用　一题多变 　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　) A．28　　　　　　　　　 B．32 C．21 D．28或－21 (2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________． [自主解答]　(1)∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列， 即7，S4－7，91－S4成等比数列， ∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28. (2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80， S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则＝q＝3，即S1＝3S2. 又S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24. 即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24. [答案]　(1)A　(2)24 [母题变式] (变条件)将本例(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正数等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值． 解析　设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列， 所以 所以或(舍去)，所以S4n＝30. [规律方法]　 1．在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑对其差或比进行简化运算．若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0). 2．等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1). [触类旁通] 1．(1)(2022·连云港期末)在等比数列中，a2＝2，a5＝16.设t为实数，S2n为该数列的前2n项和，Tn为数列的前n项和，