4.3 等比数列 4.3.3 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 以分层设计构建等比数列前n项和知识巩固路径，基础题夯实公式应用，提升题强化推理运算，拓展题发展创新意识，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等比数列基本量计算、前n项和公式直接应用|选择题（1-5）、填空题（7-8），聚焦aₙ、Sₙ关系，培养运算能力| |提升层|前n项和与通项综合、分类讨论（多选题6）|解答题（9-10），结合递推关系（aₙ₊₁=3Sₙ+1），发展推理意识| |拓展层|抽象递推（aₙ₊ₘ=2ᵐaₙ）、无穷等比数列性质|创新题（11-16），融入跨情境问题，提升数学抽象与应用意识|

4.3.3　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 1.A　[解析] 设等比数列{an}的公比为q(q>0),由a2=2,a4=8,a4=a2q2,得8=2q2,可得q=2,所以a1==1,所以S4===15,故选A. 2.A　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,若q=1,则a1-a5=0,与已知条件矛盾,所以q≠1,则 解得所以a7=a1q6=.故选A. 3.A　[解析] 由题意可得S1=31-1-c=1-c=a1;S2=32-1-c=3-c=a1+a2,则a2=2;S3=33-1-c=9-c=a3+S2,则a3=6.因为=a1·a3,所以4=6(1-c),解得c=.故选A. 4.B　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由题意知q≠1,因为S3=,S6=,所以S3==,S6==,解得a1=,q=2,所以a8=a1·q7=×27=32.故选B. 5.C　[解析] 由题意得S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=6,a7+a8+a9=a1q6(1+q+q2)=24,所以a1=,q6===4,因为{an}是各项都为正数的等比数列,所以q3=2,则S30==×===6138,故选C. 6.ABC　[解析] 由8a2+a5=0得8a2+a2q3=0,∵a2≠0,∴q3=-8,∴q=-2.对于A,=q2=4(n≥2);对于B,===;对于C,===;对于D,=,与n有关,不是定值.故选ABC. 7.(n-1)2n+1+2　[解析] 因为an=n·2n,所以Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n①,2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1②,①-②,得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)2n+1-2,所以Sn=(n-1)2n+1+2. 8.25-n(答案不唯一)　[解析] 不妨设a1=16,因为数列{an}是递减的等比数列,所以0<q<1,取q=,所以S5==31,满足题意,所以an=25-n(答案不唯一). 9.解:(1)因为{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16, 所以q>0,2q2=2×2q+16,可得q=4,所以{an}的通项公式为an=a1qn-1=2×4n-1. (2)数列{an}的前n项和Sn==(4n-1). 10.解:(1)因为点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上, 所以an+1=3Sn+1(*), 当n≥2时,an=3Sn-1+1, 则an+1-an=3(Sn-Sn-1)(n≥2),所以an+1-an=3an(n≥2),所以an+1=4an(n≥2). 对于(*)式,当n=1时,a2=3S1+1,所以a2=3a1+1=3t+1, 所以当t=1时,a2=4a1,此时数列{an}是等比数列. (2)由(1)可得an=4n-1,则an+1=4n, 所以bn=log4an+1=n,cn=4n-1+n, 那么Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)=(40+41+…+4n-1)+(1+2+…+n)=+. 11.B　[解析] 令m=1,则an+1=2an,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=a5+a5+a5+a5+a5=a5=a5×=31,解得a5=16.故选B. 12.D　[解析] 设{an}的公比为q,则q3==-,所以q=-,所以Sn===-.当n为偶数时,Sn=-,对应函数为减函数,则S2>S4>S6>…>-;当n为奇数时,Sn=-,对应函数为增函数,则S1<S3<S5<…<-.所以{Sn}有最大项S2,最小项S1.故选D. 13.ABC　[解析] ∵首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,4anan+1=16n,∴==16,∴=16,∴===…==16,∵4anan+1=16n,∴4a1a2=16,又a1=1,∴a2=4,∴====…==4,∴数列{an}是首项为1,公比为4的等比数列,故A正确;Sn==,∴数列{Sn}为递增数列,故B正确;a5=1×44=256,故C正确;4an=4×1×4n-1=4n,3Sn+4n-1=3×+4n-1=5×4n-1-1,∴4an≠3Sn+4n-1,故D错误.故选ABC. 14.2n+1---2　[解析] 因为a1+a2+a3+…+an=n①,所以a1=1,当n≥2时,有a1+a2+a3+…+an-1=n-1②,由①-②得an=1(n≥2),得an=2n-1(n≥2),因为a1=1满足上式,所以an=2n-1.令2an-n=bn,所以bn=2n-n,所以Sn=(2-1)+(22-2)+(23-3)+…+(2n-n)=(2+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n)=-=2n+1-2--=2n+1---2. 15.D　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由题意知-a1<a1,则a1>0,由-a1<a2<a1可得-1<q<1且q≠0.对于A,B选项,an=a1qn-1,若-1<q<0,则当n为奇数时,an+1=a1qn<0,此时Sn+1-Sn=an+1<0,则Sn+1<Sn;当n为偶数时,an+1=a1qn>0,此时Sn+1-Sn=an+1>0,则Sn+1>Sn.所以当-1<q<0时数列{Sn}不单调,A,B错误.对于C,D选项,Sn=,当0<q<1时,{Sn}为递增数列,则{Sn}有最小项,无最大项.当-1<q<0时,若n为正奇数,则qn<0,则Sn=>,此时{Sn}为递减数列,则Sn≤S1=a1;若n为正偶数,则qn>0,则Sn=<,此时{Sn}为递增数列,则Sn≥S2=a1(1+q)=(1-q2).故当-1<q<0时,{Sn}的最大项为S1,最小项为S2.综上所述,{Sn}有最小项,C错误,D正确.故选D. 16.解:(1)证明:由a1=2,-=1,an+1=2bn,得-=1, 整理得-1=, 又-1=-≠0, 所以数列是以-为首项,为公比的等比数列. (2)由(1)知-1=-=-,所以an=, 所以bn=an+1=,=n·=2n-. 设Sn=++…+,则Sn=++…+, 两式相减得Sn=++…+-=-=1-,从而Sn=2-, 所以Tn=-Sn=n2+n-2+. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.3　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 1.已知数列{an}是公比为正数的等比数列,Sn是其前n项和,a2=2,a4=8,则S4= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.15 B.31 C.63 D.7 2.[2025·江苏苏州中学高二月考] 等比数列{an}的前4项和为30,a1-a5=15,则a7= (　 ) A. B. C.1 D.2 3.已知等比数列{an}的前n项和Sn=3n-1-c,则c= (　 ) A. B. C. D. 4.[2025·湖北荆州中学高二质检] 等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,已知S3=,S6=,则a8= (　 ) A.-32 B.32 C.64 D.-64 5.[2025·江苏盐城中学高二调研] 已知各项都为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=6,a7+a8+a9=24,则S30= (　 ) A.5858 B.5948 C.6138 D.6658 6.(多选题)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若8a2+a5=0,则下列式子的值为定值的是 (　 ) A.(n≥2) B. C. D. 7.已知数列{an}的前n项和为Sn且an=n·2n,则Sn=　　　　　　.  8.前5项的和为31,且递减的等比数列{an}的一个通项公式为an=　　　　　　.  9.(13分)[2025·江苏镇江中学高二检测] 已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和Sn. 10.(13分)[2025·江苏宿迁中学高二月考] 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上. (1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列? (2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn. 11.[2025·山东师大附中高二质检] 已知数列{an}满足an+m=2man(n,m∈N*),若数列{an}的前5项和为31,则a5的值为 (　 ) A.8 B.16 C.31 D.32 12.[2025·江苏金陵中学高二质检] 记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a1=-4,a4=,则数列{Sn} (　 ) A.无最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项 C.无最大项,无最小项 D.有最大项,有最小项 13.(多选题)[2025·安徽安庆一中高二质检] 已知首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,4anan+1=16n,则下列说法正确的是 (　 ) A.数列{an}是等比数列 B.数列{Sn}是递增数列 C.a5=256 D.4an=3Sn+4n-1 14.已知数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=n,记数列{2an-n}的前n项和为Sn,则Sn=　　　　　　.  15.[2025·江苏泰州中学高二调研] 设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn,若-a1<a2<a1,则 (　 ) A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.数列{Sn}有最大项 D.数列{Sn}有最小项 16.(15分)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,-=1,an+1=2bn. (1)求证:数列是等比数列; (2)求数列的前n项和Tn. 学科网（北京）股份有限公司 $