4.3.3 第1课时 等比数列的前n项和-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

4．3.3　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 学业标准 素养目标 1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点) 2．会用错位相减法求数列的和．(重点) 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题． 1．通过等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养． 2．借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养． [教材梳理] 导学　等比数列的前n项和 已知等比数列{an}，公比为q，Sn是其前n项的和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. 　若q＝1，则Sn与a1有何关系？ [提示]　Sn＝na1. 　若q≠1，你能用a1，q直接表示Sn吗？如何表示？ [提示]　能．∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① 两边同乘以q，可得 qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，② ①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn， ∴当q≠1时，Sn＝. ◎结论形成 1. 等比数列前n项和公式 2．等比数列前n项和公式的函数特征 当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数． 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 3．错位相减法 (1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法； (2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求等比数列的前n项和可以直接套用公式Sn＝.(　　) (2)等比数列的前n项和不可以为0.(　　) (3)数列{an}的前n项和为Sn＝an＋b(a≠0，a≠1)，则数列{an}一定是等比数列．(　　) (4)求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝(　　) A．2－　　　　　　　　 B．2－ C．2－ D．2－ 解析　易知公比q＝，则S10＝＝2－. 答案　B 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则公比q＝(　　) A．1或－1 　　 B．1　　　 C．－1　　 D． 解析　由S3＋S6＝S9得S3＝S9－S6， 即a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝q6(a1＋a2＋a3)，则q6＝1，q＝±1. 答案　A 4．(2023·南通期末)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝3，S6＝3S3，则a7＝(　　) A．6 B．12 C．18 D．48 解析　因为S6＝3S3，所以q≠1.所以＝，解得q3＝2. 所以a7＝a1q6＝3×4＝12.故选B. 答案　B 题型一　等比数列基本量的运算 　 在等比数列{an}中： (1)若a1＝1，a5＝16，且q＞0，求S7； (2)若a3＝，S3＝，求a1和公比q. [自主解答]　(1)∵{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16，∴a5＝a1q4.∴16＝q4.∴q＝2(负舍). ∴S7＝＝＝127. (2)①当q≠1时，S3＝＝， 又a3＝a1·q2＝， ∴a1(1＋q＋q2)＝，即(1＋q＋q2)＝，解得q＝－(q＝1舍去)，∴a1＝6. ②当q＝1时，S3＝3a1，∴a1＝. 综上得或 [规律方法]　 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． [触类旁通] 1．在等比数列{an}中． (1)若q＝2，S4＝1，求S8； (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5. (3)(2023·盐城期末)已知等比数列的前n项和为Sn，若Sn＝33－n＋k，求k的值． 解析　(1)设首项为a1，∵q＝2，S4＝1， ∴＝1，即a1＝， ∴S8＝＝＝17. (2)设公比为q，由通项公式及已知条件得 即 ∵a1≠0，1＋q2≠0， ∴②÷①得q3＝，即q＝， ∴a1＝8. ∴a4＝a1q3＝8×＝1，S5＝＝＝. (3)因为Sn＝33－n＋k　①，当n＝1时a1＝S1＝33－1＋k＝9＋k， 当n≥2时Sn－1＝34－n＋k　②，①－②得an＝Sn－Sn－1＝33－n＋k－＝－2·33－n， 因为是等比数列，所以－2·33－1＝9＋k，解得k＝－27. 题型二　等比数列的实际应用一题多解 　借贷1