3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 学业标准 素养目标 1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点) 2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点) 1．通过直线与椭圆位置关系的判断，培养学生的逻辑推理核心素养． 2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养． [教材梳理] 导学1　点与椭圆的位置关系 　点与圆的位置关系有哪几种？ [提示]　 点在圆内，点在圆上和点在圆外． ◎结论形成 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔__＋＝1__； 点P在椭圆内部⇔__＋<1__； 点P在椭圆外部⇔__＋>1__． 导学2　直线和椭圆的位置关系 　直线和圆的有哪几种位置关系？ [提示]　相切，相交和相离． ◎结论形成 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 __两__解 Δ__>__0 相切 __一__解 Δ__＝__0 相离 __无__解 Δ__<__0 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．(　　) (2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(　　) (3)直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(　　) (4)地球运行的轨道是长半轴长为1.50×108 km，离心率为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最远距离是1.53×108 km.(　　) 答案　(1)√　 (2) ×　(3)√　(4)√ 2．已知点P(m，1)在椭圆＋＝1的外部，则实数m的取值范围是________． 解析　由题意可知＋＞1，解得m＞或m＜－. 答案　　∪ 3．若直线y＝x＋1和椭圆＋＝1交于A，B两点，则线段AB的长为________． 解析　由消y得3x2＋4x－2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x2＝－，x1＋x2＝－， 所以AB＝·＝. 答案　　 4．(2022·江苏高二专题练习)已知动点M(x，y)到定点F(3，0)的距离和点M到定直线l：x＝的距离之比是常数，求动点M的轨迹． 解析　因为动点M(x，y)到定点F和到定直线l的距离之比是常数， 所以＝，两边平方并化简得16x2＋25y2＝400，即＋＝1， 所以点M的轨迹是以(±3，0)为焦点，长轴长、短轴长分别为10，8的椭圆． 题型一　直线与椭圆的位置关系 　对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系． [自主解答]　由消去y，得＋(x＋m)2＝1，整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0. Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2). 当－＜m＜时，Δ＞0，直线与椭圆相交； 当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m＜－或m＞时，Δ＜0，直线与椭圆相离． [规律方法]　判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则 Δ＞0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ＜0⇔直线与椭圆相离． [触类旁通] 1．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围． 解析　由消去y，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0， ∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1). ∵直线与椭圆总有公共点，∴Δ≥0对任意k∈R都成立． ∵m＞0，∴5k2≥1－m恒成立． ∵5k2≥0，∴1－m≤0，即m≥1. 又椭圆的焦点在x轴上，∴0＜m＜5，∴1≤m＜5. 题型二　弦长和中点弦问题　一题多解　一题多变 　过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分． (1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长． [自主解答]　(1)法一　设所求直线方程为y－1＝k(x－2). 代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝. 又M为AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 法二　设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2). 又M(2，1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16. 两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0. 于是(x1＋x2)(x1－x