5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 教案 2022—2023学年北师大版数学七年级上册

第五章一元一次方程 5.3应用一元一次方程——水箱变高了 一、教学目标 1．通过分析图形、问题中的数量关系，建立方程解决问题． 2．进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，认识方程模型的重要性. 3. 解决生活中相关的等积变形和等周长变形问题，使学生进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，列出方程． 二、教学重点及难点 重点：分析等量关系，建立方程． 难点：关键是让学生抓住问题变化中的不变量，确定等量关系，列出方程． 三、教学准备 实物投影，课件，2瓶纯净水，量杯，橡皮泥，30厘米长的铁丝. 四、相关资源 动画《阿基米德检验皇冠》故事，动画《 应用一元一次方程——水箱变高了》 五、教学过程 【复习回顾】复习回顾，引入新课 动画《阿基米德检验皇冠》故事 情境1：同学们都听说过“阿基米德检验皇冠”的故事吧，那么：阿基米德要判断制作精美的皇冠是否纯金的，必须得知道皇冠的体积，那么在故事中阿基米德是用什么方法算出皇冠的体积的？ 在这个问题的讨论交流中，学生不难发现：皇冠的体积＝溢出容器的水的体积． 设计意图：故事的讲述侧重点要尽量倾向于建立“皇冠体积＝溢出水的体积”的等量关系，为感受等量关系提供直观素材． 【新课讲解】合作交流，新课讲解 探究一： 问题1：复习常见图形的体积、面积、周长公式． 师生活动：结合提出的问题，组织学生讨论，重视图形变化过程中相等关系的建立，理顺变量与不变量的关系．教师可组织学生多做几个橡皮泥的图形变化，借此复习各种立体图形的体积公式，为例题的教学积累数学活动经验，化解难点，排除知识障碍． （1）常用的体积公式： 长方体的体积＝长×宽×高；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h． （2）常用的面积、周长公式： 长方形的面积＝长×宽；长方形的周长＝2×（长＋宽）；正方形的面积＝边长×边长；正方形的周长＝边长×4； 三角形的面积＝×底×高；平行四边形的面积＝底×高；梯形的面积＝×（上底＋下底）×高； 圆的面积＝πr2；圆的周长＝2πr． 问题2.解决问题： 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱，现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积需要将它的底面直径由4m减少为3.2米，那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4米增高为多少米？ 解：设水箱的高为x厘米． 根据题意，得π×（1.6）2×x＝π×22×4． 解得x＝6.25． 答：水箱的高变成了6.25厘米． 探究二： 如下图，将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径是10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？ （1）讨论分析：在锻压过程中哪些量改变了？哪些量没变？问题中的等量关系是什么？ 设计意图：由情境2的启发，学生很容易得出结论． 圆柱的底面直径和高发生了变化，但圆柱的体积没有改变．所以，在这个问题中的等量关系是：锻压前的体积＝锻压后的体积． （2）列表分析：设锻压后圆柱的高为x厘米，填写下表： （单位：厘米） 锻压前 锻压后 底面半径 10 5 高 9 x 体积 π×102×9 π×52×x 解：设锻压后圆柱的高为x厘米． 根据题意，得π×52×x＝π×102×9． 解得x＝36． 答：锻压后高变成了36厘米． （3）规律探究：圆柱在锻压过程中，随着直径的变化，圆柱高度的变化有什么规律？ 直径 40 20 10 5 高 9 36 师生活动：通过小组内分工协作，计算得出． 当圆柱直径为40时，高度变为2.25；当圆柱直径为5时，高度变为144．观察直径和高的变化规律，不难发现：圆柱在锻压过程中体积不变，随着直径逐渐变小，圆柱高度不断增大． （4）你认为解决问题的关键是什么？你采用了什么方法辅助分析？在解题过程中有哪些易错点？ 在分析问题过程中最关键的是抓住锻压变化中的不变量——物体的体积．为了更好地理清问题中的变量和不变量以及它们之间的关系可以采用图示法或列表法． 设计意图：在解题过程中，学生易出现半径与直径混淆、算式中直接用3.14替代π、圆柱体积计算公式遗忘等问题，要注意及时纠正． 【典型例题】 例1.用一根长为10米的铁丝围成一个长方形． （1）使得该长方形的长比宽多1.4 m，此时长方形的长、宽各为多少米？ （2）使得该长方形的长比宽多0.8 m，此时长方形的长、宽各为多少米？它围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比，面积有什么变化？ （3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？ 师生活动：用你手里的线绳亲自动手操作，根据你的生活经验和操作过程以及用一元一次方程解决实际问题的基础，分组独立完成例1中的（